Dadas A=[cc3 & 0 0 & -2], P=[cc2 & -1 3 & 5] e B=113[cca & 10 75 & b], determine os valores de a e b, tais que B=P A P^-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de e na matriz tal que . Isso envolve conceitos de matrizes, como multiplicação e inversa de matrizes. Vamos precisar calcular a inversa de e então fazer algumas multiplicações de matrizes para descobrir e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar P^-1 = 1det(P) d & -b -c & a , que é a inversa da matriz a & b c & d . Para isso, usamos a fórmula da inversa para matrizes 2x2:
det(P) = (2)(5) - (-1)(3) = 10 + 3 = 13
onde P^-1 = 113 5 & 1 -3 & 2 . Vamos calcular o determinante de :
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular P = 2 & -1 3 & 5 , A = 3 & 0 0 & -2 . Multiplicação de matrizes significa multiplicar as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda. Então,
P A = 2 cdot 3 + (-1) cdot 0 & 2 cdot 0 + (-1) cdot (-2) 3 cdot 3 + 5 cdot 0 & 3 cdot 0 + 5 cdot (-2) = 6 & 2 9 & -10
Multiplicando:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar P A P^-1 = 6 & 2 9 & -10 cdot 113 5 & 1 -3 & 2 pela inversa de P A P^-1 = 113 6 cdot 5 + 2 cdot (-3) & 6 cdot 1 + 2 cdot 2 9 cdot 5 + (-10) cdot (-3) & 9 cdot 1 + (-10) cdot 2 = 113 30 - 6 & 6 + 4 45 + 30 & 9 - 20 = 113 24 & 10 75 & -11 , que já calculamos:
Fazendo a multiplicação:

Passo 5

Sabemos que a & 10 75 & b deve ser igual a 24 & 10 75 & -11 . Igualando as matrizes:
113 a & 10 75 & b = 113 24 & 10 75 & -11
Portanto, comparando os elementos correspondentes:
a = 24 e b = -11

Resposta

Os valores são e .

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