Resolva os sistemas abaixo, por escalonamento:
a) x+y+z & =1 x-y+2 z & =2 x+6 y+3 z & =3
b) x+y+z & =1 x-y-z & =-2 2 y & =3
c) x1+x2+2 x3 & =8 -x1-2 x2+3 x3 & =1 3 x1-7 x2+4 x3 & =10
d) 2 x1+2 x2+2 x3 & =0 -2 x1+5 x2+2 x3 & =1 8 x1+x2+4 x3 & =-1
e) x-y+2 z-w & =-1 2 x+y-2 z-2 w & =-2 -x+2 y-4 z+w & =1 3 x-3 w & =-3
f) -2 b+3 c & =1 3 a+6 b-3 c & =-2 6 a+6 b+3 c & =5

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema de equações abaixo usando escalonamento, que é uma técnica da Álgebra Linear para resolver sistemas lineares. O sistema que vamos resolver é:
x + y + z = 1 x - y + 2z = 2 x + 6y + 3z = 3
Para isso, vamos manipular as equações para chegar numa forma mais simples e encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz ampliada:
1 & 1 & 1 & | & 1 1 & -1 & 2 & | & 2 1 & 6 & 3 & | & 3
Aqui, cada linha representa uma equação do sistema.

Passo 3

Agora, vamos usar a técnica de eliminação para zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (no caso, o (1-1)x + (-1-1)y + (2-1)z = 2-1 Rightarrow 0x -2y +1z =1 na primeira coluna). Para isso, subtraímos a primeira linha das demais:
  • Segunda linha menos a primeira:
(1-1)x + (6-1)y + (3-1)z = 3-1 Rightarrow 0x +5y +2z =2
  • Terceira linha menos a primeira:
x + y + z = 1 -2y + z = 1 5y + 2z = 2
O sistema fica assim:

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( -2y + z =1 Rightarrow z = 2y +1 e 5y + 2(2y +1) =2 Rightarrow 5y +4y +2 =2 Rightarrow 9y =0 Rightarrow y=0 ). Vamos resolver o segundo passo. Podemos resolver a segunda equação para :
Substituímos na terceira equação:

Passo 5

Com z = 2(0) +1 =1 , substituímos de volta para encontrar x +0 +1 =1 Rightarrow x=0 :
Agora, usamos e na primeira equação para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x = 0, y = 0, z = 1

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