Dadas as equações, determine d yd x.
ln (x y)=x-y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação ln(x y) = x - y e precisa descobrir qual é a derivada d yd x. Isso envolve cálculo diferencial, especialmente derivadas de funções que têm produtos e logaritmos. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia, a regra do produto e as propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte do logaritmo. Sabemos que ln(a b) = ln(a) + ln(b), então podemos reescrever a equação:
ln(x) + ln(y) = x - y
Isso facilita na hora de derivar cada termo separadamente.

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação com relação a x. Lembre-se de que quando derivamos em relação a x, y também depende de x, então precisamos usar a derivada implícita.
A derivada de ln(x) em relação a x é 1x. A derivada de ln(y) em relação a x é 1y cdot d yd x (usando a regra da cadeia).
No lado direito, a derivada de x é 1 e a derivada de -y é -d yd x.
Então, temos:
1x + 1y cdot d yd x = 1 - d yd x

Passo 4

Agora, vamos isolar d yd x. Primeiro, vamos trazer todos os termos que têm d yd x para um lado da equação:
1y cdot d yd x + d yd x = 1 - 1x
Podemos fatorar d yd x:
d yd x ( 1y + 1 ) = 1 - 1x

Passo 5

Agora, isolamos d yd x dividindo ambos os lados pelo termo ( 1y + 1 ):
d yd x = 1 - 1x1y + 1

Passo 6

Vamos simplificar a expressão do denominador:
1y + 1 = 1 + yy
Substituindo de volta na equação:
d yd x = 1 - 1x1 + yy = (1 - 1x) cdot y1 + y

Resposta

A derivada é:
d yd x = y (1 - 1x)1 + y

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