Dadas
contínuas, prove que são contínuas em a as funções
, definidas por
e
para todo
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções contínuas,
e
, que mapeiam elementos de um espaço
para os números reais
. Precisamos provar que as funções
e
, definidas respectivamente como o máximo e o mínimo entre
e
para cada
em
, também são contínuas. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e propriedades de operações envolvendo funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na função
. Queremos mostrar que
é contínua. Sabemos que
e
são contínuas por hipótese.
Passo 3
Lembrando que a função máximo entre duas funções contínuas também é contínua. Isso porque, para qualquer ponto
em
, temos que:
Como
e
são contínuas em
, qualquer combinação envolvendo soma, produto ou máximo/minímo dessas funções também será contínua em
.
Passo 4
Formalizando, a continuidade de
em
significa que:
Como
, e ambos
e
são contínuos, concluímos que
também satisfaz a condição de continuidade.
Passo 5
Agora, vamos analisar a função
. De maneira semelhante ao que fizemos para
, queremos provar que
é contínua.
Passo 6
A função mínimo entre duas funções contínuas também preserva a continuidade. Ou seja, para qualquer ponto
em
:
Como
e
são contínuas em
, a combinação por mínimo também será contínua.
Passo 7
Formalizando a continuidade de
:
Novamente, como
e
,
são contínuas,
satisfaz a condição de continuidade.
Resposta
Portanto, as funções
e
são contínuas em
.