Dadas f, g: M -> R contínuas, prove que são contínuas em a as funções phi, psi: M -> R, definidas por phi(x) = max { f(x), g(x) } e psi(x) = min { f(x), g(x) } para todo x in M.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções contínuas, e , que mapeiam elementos de um espaço para os números reais . Precisamos provar que as funções e , definidas respectivamente como o máximo e o mínimo entre e para cada em , também são contínuas. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e propriedades de operações envolvendo funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na função . Queremos mostrar que é contínua. Sabemos que e são contínuas por hipótese.

Passo 3

Lembrando que a função máximo entre duas funções contínuas também é contínua. Isso porque, para qualquer ponto em , temos que:
Como e são contínuas em , qualquer combinação envolvendo soma, produto ou máximo/minímo dessas funções também será contínua em .

Passo 4

Formalizando, a continuidade de em significa que:
Como , e ambos e são contínuos, concluímos que também satisfaz a condição de continuidade.

Passo 5

Agora, vamos analisar a função . De maneira semelhante ao que fizemos para , queremos provar que é contínua.

Passo 6

A função mínimo entre duas funções contínuas também preserva a continuidade. Ou seja, para qualquer ponto em :
Como e são contínuas em , a combinação por mínimo também será contínua.

Passo 7

Formalizando a continuidade de :
Novamente, como e , são contínuas, satisfaz a condição de continuidade.

Resposta

Portanto, as funções e são contínuas em .

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