Determine os valores de p e q para os quais as seguintes integrais impróprias convergem: integral0^infty x^p-11+q x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir para quais valores de e a integral imprópria converge. Isso envolve entender um pouco de cálculo integral, especialmente sobre quando essas integrais “chegam” a algum valor finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral imprópria convergir. Basicamente, isso quer dizer que, mesmo sem limites finitos, a área sob a curva da função até o infinito (ou até algum ponto problemático) é finita. Para verificar isso, a gente precisa analisar o comportamento da função dentro da integral nos extremos do intervalo, ou seja, próximo a e quando vai para .

Passo 3

Vamos começar avaliando o comportamento da função p > 0 perto de . Quando é muito pequeno, o termo na denominação é quase insignificante, então a função se aproxima de . A integral próxima a 0, , converge se a potência de for maior que , ou seja, se . Simplificando isso, obtemos:

Passo 4

Agora, vamos olhar para o comportamento da função quando p < 1 tende ao infinito. Nesse caso, o na denominação é quase insignificante comparado com , então a função se aproxima de . A integral próxima ao infinito, , converge se a potência de for menor que , ou seja, se . Simplificando:

Passo 5

Além das condições para , também precisamos garantir que seja positivo. Isso porque se for negativo, o denominador pode se tornar zero para algum , causando problemas na definição da função dentro da integral.

Resposta

A integral imprópria 0 < p < 1 e q > 0 converge para todos os valores de e que satisfazem:

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