Determine os valores de
e
para os quais as seguintes integrais impróprias convergem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir para quais valores de
e
a integral imprópria
converge. Isso envolve entender um pouco de cálculo integral, especialmente sobre quando essas integrais “chegam” a algum valor finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral imprópria convergir. Basicamente, isso quer dizer que, mesmo sem limites finitos, a área sob a curva da função até o infinito (ou até algum ponto problemático) é finita. Para verificar isso, a gente precisa analisar o comportamento da função dentro da integral nos extremos do intervalo, ou seja, próximo a
e quando
vai para
.
Passo 3
Vamos começar avaliando o comportamento da função
perto de
. Quando
é muito pequeno, o termo
na denominação é quase insignificante, então a função se aproxima de
. A integral próxima a 0,
, converge se a potência de
for maior que
, ou seja, se
. Simplificando isso, obtemos:
Passo 4
Agora, vamos olhar para o comportamento da função quando
tende ao infinito. Nesse caso, o
na denominação é quase insignificante comparado com
, então a função se aproxima de
. A integral próxima ao infinito,
, converge se a potência de
for menor que
, ou seja, se
. Simplificando:
Passo 5
Além das condições para
, também precisamos garantir que
seja positivo. Isso porque se
for negativo, o denominador
pode se tornar zero para algum
, causando problemas na definição da função dentro da integral.
Resposta
A integral imprópria
converge para todos os valores de
e
que satisfazem: