Supondo que
é medido em meses,
(
da população foi infectada) e que
, determine quantos meses levará para que
da população faça parte da população infectada.
Passo 1
Beleza, então vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que
é medido em meses, e inicialmente
(ou seja, 5% da população está infectada). A taxa de crescimento da infecção é
. A pergunta é: em quantos meses 90% da população estarão infectados. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do crescimento exponencial, que descreve como uma quantidade cresce ao longo do tempo com uma taxa constante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do crescimento exponencial. Ela é dada por:
Aqui,
é a porcentagem da população infectada após
meses,
é a porcentagem inicial,
é a taxa de crescimento, e
é a base do logaritmo natural, que é aproximadamente 2,718.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar o valor de
quando
(ou 90%). Vamos substituir os valores que conhecemos na fórmula:
Agora, precisamos isolar
nessa equação.
Passo 4
Primeiro, vamos dividir os dois lados da equação por 0,05 para simplificar:
Agora temos
.
Passo 5
Para resolver para
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. O logaritmo natural de
simplifica para
:
Agora, podemos calcular o valor de
.
Passo 6
Calculando
:
Então, a equação fica:
Passo 7
Agora, vamos isolar
dividindo ambos os lados por 0,1:
Resposta
Levará aproximadamente 28,9 meses para que 90% da população estejam infectados.