Supondo que t é medido em meses, y0 = 0.05 ( 5 % da população foi infectada) e que alpha = 0.1, determine quantos meses levará para que 90 % da população faça parte da população infectada.

Passo 1

Beleza, então vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que é medido em meses, e inicialmente (ou seja, 5% da população está infectada). A taxa de crescimento da infecção é . A pergunta é: em quantos meses 90% da população estarão infectados. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do crescimento exponencial, que descreve como uma quantidade cresce ao longo do tempo com uma taxa constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do crescimento exponencial. Ela é dada por:
Aqui, é a porcentagem da população infectada após meses, é a porcentagem inicial, é a taxa de crescimento, e é a base do logaritmo natural, que é aproximadamente 2,718.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o valor de quando (ou 90%). Vamos substituir os valores que conhecemos na fórmula:
Agora, precisamos isolar nessa equação.

Passo 4

Primeiro, vamos dividir os dois lados da equação por 0,05 para simplificar:
Agora temos .

Passo 5

Para resolver para , vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. O logaritmo natural de simplifica para :
Agora, podemos calcular o valor de .

Passo 6

Calculando :
Então, a equação fica:

Passo 7

Agora, vamos isolar dividindo ambos os lados por 0,1:

Resposta

Levará aproximadamente 28,9 meses para que 90% da população estejam infectados.

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