Dadas f(x) = { -x, x < 0; x², x ≥ 0 } e g(x) = { 1/x, x < 0; raiz(x), x ≥ 0 }, determine: (g o f)(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função composta (g o f)(x), ou seja, aplicar a função g depois da função f. As funções f(x) e g(x) são definidas por partes, então a gente vai precisar entender como elas se comportam em diferentes intervalos de x. Vamos usar conceitos de função composta e funções por partes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função f(x):
Isso significa que para valores de x menores que 0, f(x) é igual a -x, e para valores de x maiores ou iguais a 0, f(x) é igual a x^2.

Passo 3

Agora, a função g(x) também é definida por partes:
Então, para aplicar g em f(x), precisamos considerar onde f(x) está definido.

Passo 4

Vamos considerar os dois casos para x:
Caso 1:
  • Nesse caso, . Como x é negativo, -x será positivo, ou seja, f(x) ≥ 0.
  • Então, para calcular g(f(x)), usamos a parte de g(x) quando x >= 0, que é raiz(x).
  • Portanto, .
Caso 2: x >= 0
  • Aqui, . Como x >= 0, x^2 também é positivo ou zero, então f(x) ≥ 0.
  • Novamente, usamos a parte de g(x) para x >= 0, que é raiz(x).
  • Então, .
  • Como x >= 0, .

Resposta

A função composta (g o f)(x) é dada por:

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