Calcule a derivada das funções trigonométricas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função trigonométrica
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de derivadas de funções trigonométricas. Para isso, vamos lembrar de algumas fórmulas básicas de derivação e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável, no caso,
. Para funções trigonométricas como a tangente, existe uma fórmula específica para encontrar sua derivada.
Passo 3
Sabemos que
pode ser expressa como
. Podemos usar a regra do quociente para derivar essa expressão. A regra do quociente diz que se temos uma função
, sua derivada é:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente à nossa função, onde
e
, precisamos primeiro encontrar as derivadas de
e
:
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula do quociente:
Passo 6
Lembrando da identidade trigonométrica
, simplificamos a expressão:
Passo 7
Sabemos que
é igual a
. Portanto, a derivada de
é:
Resposta
A derivada da função
é
.
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e
, determine:
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e
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