Calcule a derivada das funções trigonométricas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função trigonométrica . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de derivadas de funções trigonométricas. Para isso, vamos lembrar de algumas fórmulas básicas de derivação e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável, no caso, . Para funções trigonométricas como a tangente, existe uma fórmula específica para encontrar sua derivada.

Passo 3

Sabemos que pode ser expressa como . Podemos usar a regra do quociente para derivar essa expressão. A regra do quociente diz que se temos uma função , sua derivada é:

Passo 4

Aplicando a regra do quociente à nossa função, onde e , precisamos primeiro encontrar as derivadas de e :

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do quociente:

Passo 6

Lembrando da identidade trigonométrica , simplificamos a expressão:

Passo 7

Sabemos que é igual a . Portanto, a derivada de é:

Resposta

A derivada da função é .

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