A yunção g é definido em R por g(x) = { (x + 2)(1 - x) se x > -2, -x/2 + 1 se x <= -2 }𝟙 determine Os valores do domínio que tem imagem 4 .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma função chamada que é definida de duas maneiras diferentes, dependendo do valor de . O objetivo aqui é encontrar todos os valores de que fazem com que . Para isso, vamos precisar entender funções por partes e resolver algumas equações. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função que vale quando . Nessa região, a função é definida por:
Queremos encontrar tal que , então vamos igualar a função a 4:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação. Primeiro, vamos expandir o lado esquerdo:
Então, a equação fica:
Vamos trazer o 4 para o lado esquerdo para igualar a zero:
Multiplicando tudo por -1 para simplificar:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo ( ), não há soluções reais nessa parte da função. Ou seja, não existem valores de que fazem .

Passo 5

Agora vamos analisar a outra parte da função, onde . Nessa região, a função é definida por:
Igualamos a função a 4 para encontrar :

Passo 6

Vamos resolver essa equação simples. Primeiro, subtraímos 1 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -2 para isolar :

Passo 7

Finalmente, verificamos se está no intervalo considerado ( ). Como é verdadeiro, é uma solução válida.

Resposta

O valor de que satisfaz é:

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