A yunção g é definido em
por
determine Os valores do domínio que tem imagem 4 .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma função chamada
que é definida de duas maneiras diferentes, dependendo do valor de
. O objetivo aqui é encontrar todos os valores de
que fazem com que
. Para isso, vamos precisar entender funções por partes e resolver algumas equações. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da função
que vale quando
. Nessa região, a função é definida por:
Queremos encontrar
tal que
, então vamos igualar a função a 4:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação. Primeiro, vamos expandir o lado esquerdo:
Então, a equação fica:
Vamos trazer o 4 para o lado esquerdo para igualar a zero:
Multiplicando tudo por -1 para simplificar:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo (
), não há soluções reais nessa parte da função. Ou seja, não existem valores de
que fazem
.
Passo 5
Agora vamos analisar a outra parte da função, onde
. Nessa região, a função é definida por:
Igualamos a função a 4 para encontrar
:
Passo 6
Vamos resolver essa equação simples. Primeiro, subtraímos 1 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -2 para isolar
:
Passo 7
Finalmente, verificamos se
está no intervalo considerado (
). Como
é verdadeiro,
é uma solução válida.
Resposta
O valor de
que satisfaz
é: