Dadas as funções f(t)=(t, 1, t^2), g(t)=(t+1, t^2-4t-2, 5 t-4) e h(t)=(e^t, t^2+2,0), calcule:
lim t 0(g(t)+h(t))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da soma das funções vetoriais . Aqui, vamos usar conceitos de limites e operações com funções vetoriais. O que precisamos fazer é somar componente a componente das duas funções e depois calcular o limite de cada uma delas separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a soma das funções vetoriais g(t) = (t+1, t^2-4t-2, 5t-4) . As funções são dadas por:
h(t) = (e^t, t^2+2, 0)
g(t) + h(t) = ( (t+1) + e^t, t^2-4t-2 + t^2 + 2, (5t-4) + 0 )
Somando componente a componente, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de cada componente separadamente quando limt to 0 ( t + 1 + e^t ) se aproxima de 0.
Primeira componente:
limt to 0 (t + 1) = 1
Sabemos que limt to 0 e^t = 1 , então:
Portanto, 1 + 1 = 2
limt to 0 ( t^2 - 4t - 2 + t^2 + 2 )
t^2 - 4t - 2 = (t - 2)(t + 2)t - 2 = t + 2 (t neq 2)
Segunda componente:
limt to 0 (t + 2 + t^2 + 2) = limt to 0 (t^2 + t + 4) = 0 + 0 + 4 = 4
Primeiro, simplificamos a fração:
limt to 0 (5t - 4) = 5 cdot 0 - 4 = -4
Assim, a expressão fica:
Terceira componente:

Resposta

lim t 0(g(t)+h(t)) = (2, 4, -4)

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