Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
(g) f(x) = x ln x

Passo 1

Beleza, vamos analisar a função . Primeiro, vamos entender o que a questão pede: precisamos encontrar o domínio da função, suas raízes, onde ela cresce ou decresce, a concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e esboçar o gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas, derivadas para crescimento e concavidade, e análise de limites para assíntotas.

Passo 2

Dominio da função: A função só está definida para . Como nossa função é , o domínio também será .

Passo 3

Raízes da função: Queremos encontrar os valores de onde .
Isso acontece quando ou .
  • quando .
    Mas como é o domínio, a raiz é .

Passo 4

Intervalos de crescimento e decrescimento: Precisamos derivar e ver onde a derivada é positiva ou negativa.
  • quando (≈0,3679)
  • quando
Então:
  • Cresce em
  • Decresce em

Passo 5

Concavidade e pontos de inflexão: Vamos derivar a segunda vez.
  • para : a função é côncava para cima em todo o domínio.
  • Não há pontos de inflexão, já que a concavidade não muda.

Passo 6

Assíntotas: Vamos analisar os limites.
  • (porque tende a 0 mais rápido que tende a )
  • Não há assíntotas verticais ou horizontais.

Passo 7

Esboço do gráfico: Com as informações:
  • Dominio:
  • Raiz em
  • Decresce até e cresce depois
  • Concavidade para cima
  • Sem assíntotas
O gráfico vai descender de até , atingindo um mínimo, e depois subir a partir daí, passando por e indo para .

Resposta

Analisando a função :
  • Domínio:
  • Raiz:
  • Crescimento:
  • Decrescimento:
  • Concavidade: Côncava para cima em todo o domínio
  • Pontos de inflexão: Não possui
  • Assíntotas: Não possui
O gráfico da função desce até , atinge um mínimo e depois cresce indefinidamente, passando pela raiz em .

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