Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos analisar a função
. Primeiro, vamos entender o que a questão pede: precisamos encontrar o domínio da função, suas raízes, onde ela cresce ou decresce, a concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e esboçar o gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas, derivadas para crescimento e concavidade, e análise de limites para assíntotas.
Passo 2
Dominio da função: A função
só está definida para
. Como nossa função é
, o domínio também será
.
Passo 3
Raízes da função: Queremos encontrar os valores de
onde
.
Isso acontece quando
ou
.
-
quando .
Mas comoé o domínio, a raiz é .
Passo 4
Intervalos de crescimento e decrescimento: Precisamos derivar
e ver onde a derivada é positiva ou negativa.
-
quando → → (≈0,3679) -
quando
Então:
- Cresce em
- Decresce em
Passo 5
Concavidade e pontos de inflexão: Vamos derivar a segunda vez.
-
para : a função é côncava para cima em todo o domínio. - Não há pontos de inflexão, já que a concavidade não muda.
Passo 6
Assíntotas: Vamos analisar os limites.
-
(porque tende a 0 mais rápido que tende a ) -
- Não há assíntotas verticais ou horizontais.
Passo 7
Esboço do gráfico: Com as informações:
- Dominio:
- Raiz em
- Decresce até
e cresce depois - Concavidade para cima
- Sem assíntotas
O gráfico vai descender de
até
, atingindo um mínimo, e depois subir a partir daí, passando por
e indo para
.
Resposta
Analisando a função
:
- Domínio:
- Raiz:
- Crescimento:
- Decrescimento:
- Concavidade: Côncava para cima em todo o domínio
- Pontos de inflexão: Não possui
- Assíntotas: Não possui
O gráfico da função desce até
, atinge um mínimo e depois cresce indefinidamente, passando pela raiz em
.
Exercícios relacionados
Determine a solução geral para as equações diferenciais:
(a)
(a)
Resposta:
.
(b)
(b)
Resposta:
.
©
©
em que
são constantes positivas conhecidas.
Sugestão: Encontre a solução geral do problema homogêneo e uma solução particular, e utilize o Teorema da solução geral para o problema não-homogêneo para obter
Sugestão: Encontre a solução geral do problema homogêneo
Em uma pesquisa realizada com os comerciantes de uma comunidade para saber quantos tinham CNPJ (Cadastro Nacional de Pessoas Jurídicas) foi constatado que dos 24 comerciantes entrevistados, apenas 3 possuem sua empresa registrada. O percentual de microempreendedores dessa região é
a) .
b) .
c) .
d) .
a)
b)
c)
d)
Calcule as derivadas:
Calcule as derivadas: