Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos analisar a função
. Primeiro, vamos entender o que a questão pede: precisamos encontrar o domínio da função, suas raízes, onde ela cresce ou decresce, a concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e esboçar o gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas, derivadas para crescimento e concavidade, e análise de limites para assíntotas.
Passo 2
Dominio da função: A função
só está definida para
. Como nossa função é
, o domínio também será
.
Passo 3
Raízes da função: Queremos encontrar os valores de
onde
.
Isso acontece quando
ou
.
-
quando .
Mas comoé o domínio, a raiz é .
Passo 4
Intervalos de crescimento e decrescimento: Precisamos derivar
e ver onde a derivada é positiva ou negativa.
-
quando → → (≈0,3679) -
quando
Então:
- Cresce em
- Decresce em
Passo 5
Concavidade e pontos de inflexão: Vamos derivar a segunda vez.
-
para : a função é côncava para cima em todo o domínio. - Não há pontos de inflexão, já que a concavidade não muda.
Passo 6
Assíntotas: Vamos analisar os limites.
-
(porque tende a 0 mais rápido que tende a ) -
- Não há assíntotas verticais ou horizontais.
Passo 7
Esboço do gráfico: Com as informações:
- Dominio:
- Raiz em
- Decresce até
e cresce depois - Concavidade para cima
- Sem assíntotas
O gráfico vai descender de
até
, atingindo um mínimo, e depois subir a partir daí, passando por
e indo para
.
Resposta
Analisando a função
:
- Domínio:
- Raiz:
- Crescimento:
- Decrescimento:
- Concavidade: Côncava para cima em todo o domínio
- Pontos de inflexão: Não possui
- Assíntotas: Não possui
O gráfico da função desce até
, atinge um mínimo e depois cresce indefinidamente, passando pela raiz em
.