Calcule as derivadas:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Para isso, vamos utilizar conhecimentos de cálculo, especificamente a regra do quociente e a derivação de funções logarítmicas. Precisaremos entender como aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que formam o quociente. Podemos escrever como , onde:
Isso nos ajuda a organizar melhor a aplicação da regra do quociente.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e .
Para , usamos a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é:
Calculando cada parte:
Então:
Para :

Passo 4

Com as derivadas de e encontradas, aplicamos a regra do quociente, que é:
Substituindo os valores que temos:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, observe que . Então, a expressão fica:
Expandindo o numerador:
Substituindo de volta:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
(g)
Determine a solução geral para as equações diferenciais:
(a)
Resposta: .
(b)
Resposta: .
©
em que são constantes positivas conhecidas.
Sugestão: Encontre a solução geral do problema homogêneo e uma solução particular, e utilize o Teorema da solução geral para o problema não-homogêneo para obter
Calcule as derivadas:
(Epidemias) Considere uma comunidade de membros contendo indivíduos infectados e indivíduos não-infectados, porém susceptíveis, onde . Seja a proporção de membros doentes em a proporção de membros sãos. Então,
Se é grande, então é razoável supor que e são variáveis contínuas. Assim, a taxa na qual a doença se expande é
Assumindo que a doença se espalha pelo contato entre membros da comunidade sãos e doentes, então é proporcional ao número de contatos que consideramos proporcional ao produto .
onde é a constante de proporcionalidade. Dada a condição inicial (onde é a densidade de indivíduos infectados no tempo
Determine em termos de e , e depois calcule
Sugestão: Como , temos
Resolva esta EDO separável para e depois avalie o limite.