Calcule as derivadas: y = (x ln x) / (1 + ln x)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Para isso, vamos utilizar conhecimentos de cálculo, especificamente a regra do quociente e a derivação de funções logarítmicas. Precisaremos entender como aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que formam o quociente. Podemos escrever como , onde:
Isso nos ajuda a organizar melhor a aplicação da regra do quociente.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e .
Para , usamos a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é:
Calculando cada parte:
Então:
Para :

Passo 4

Com as derivadas de e encontradas, aplicamos a regra do quociente, que é:
Substituindo os valores que temos:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, observe que . Então, a expressão fica:
Expandindo o numerador:
Substituindo de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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