Calcule as derivadas:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função
. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de cálculo, especificamente a regra do quociente e a derivação de funções logarítmicas. Precisaremos entender como aplicar essas regras passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que formam o quociente. Podemos escrever
como
, onde:
Isso nos ajuda a organizar melhor a aplicação da regra do quociente.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
.
Para
, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é:
Calculando cada parte:
Então:
Para
:
Passo 4
Com as derivadas de
e
encontradas, aplicamos a regra do quociente, que é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, observe que
. Então, a expressão fica:
Expandindo o numerador:
Substituindo de volta:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
(g)
(g)
Determine a solução geral para as equações diferenciais:
(a)
(a)
Resposta:
.
(b)
(b)
Resposta:
.
©
©
em que
são constantes positivas conhecidas.
Sugestão: Encontre a solução geral do problema homogêneo e uma solução particular, e utilize o Teorema da solução geral para o problema não-homogêneo para obter
Sugestão: Encontre a solução geral do problema homogêneo
Calcule as derivadas:
(Epidemias) Considere uma comunidade de
membros contendo
indivíduos infectados e
indivíduos não-infectados, porém susceptíveis, onde
. Seja
a proporção de membros doentes em
a proporção de membros sãos. Então,
Se
é grande, então é razoável supor que
e
são variáveis contínuas. Assim, a taxa na qual a doença se expande é
Assumindo que a doença se espalha pelo contato entre membros da comunidade sãos e doentes, então
é proporcional ao número de contatos que consideramos proporcional ao produto
.
onde
é a constante de proporcionalidade. Dada a condição inicial
(onde
é a densidade de indivíduos infectados no tempo
Determine em termos de
e
, e depois calcule
Determine
Sugestão: Como
, temos
Resolva esta EDO separável para
e depois avalie o limite.