Calcule as derivadas:

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a derivada da função . Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente sobre derivadas de funções que são produtos de outras funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e saber como derivar funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra do produto. Se você tem uma função que é o produto de duas funções, tipo , a derivada dela é . Ou seja, a derivada da primeira função multiplicada pela segunda, mais a primeira função multiplicada pela derivada da segunda.

Passo 3

Agora, vamos identificar o que é e na nossa função:

Passo 4

Vamos calcular , a derivada de :
A derivada de em relação a é . Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular , a derivada de :
A derivada de em relação a é . Então,

Passo 6

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do produto:

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão:
Podemos fatorar para deixar mais bonito:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas:
Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
(g)
(Epidemias) Considere uma comunidade de membros contendo indivíduos infectados e indivíduos não-infectados, porém susceptíveis, onde . Seja a proporção de membros doentes em a proporção de membros sãos. Então,
Se é grande, então é razoável supor que e são variáveis contínuas. Assim, a taxa na qual a doença se expande é
Assumindo que a doença se espalha pelo contato entre membros da comunidade sãos e doentes, então é proporcional ao número de contatos que consideramos proporcional ao produto .
onde é a constante de proporcionalidade. Dada a condição inicial (onde é a densidade de indivíduos infectados no tempo
Determine em termos de e , e depois calcule
Sugestão: Como , temos
Resolva esta EDO separável para e depois avalie o limite.
Suponha que em algum intervalo uma função satisfaz a equação diferencial
para algum número real (dado).
(a) Assumindo que , obtenha que devemos ter para algum número real .
Sugestão: use a derivada logarítmica:
(b) Por que o resultado o item (a) continua válido mesmo sem a hipótese de que ?
Sugestão: Em cada intervalo em que a solução tem sinal fixo, esta deve ter a forma . Mas se não é a função nula, mas tem pontos em que temos uma situação contraditória (explique).
© É possível ter uma solução que anule-se apenas em um número finito (distinto de 0) de pontos isolados ? É possível ter uma solução que seja nula apenas em um intervalo aberto, e diferente de zero fora deste intervalo?
Sugestão: os argumentos usados em (b) mostram que: ou a solução é a solução trivial , ou a solução é diferente de zero em cada . Explique.