Calcule as derivadas:
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a derivada da função
. Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente sobre derivadas de funções que são produtos de outras funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e saber como derivar funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a regra do produto. Se você tem uma função que é o produto de duas funções, tipo
, a derivada dela é
. Ou seja, a derivada da primeira função multiplicada pela segunda, mais a primeira função multiplicada pela derivada da segunda.
Passo 3
Agora, vamos identificar o que é
e
na nossa função:
Passo 4
Vamos calcular
, a derivada de
:
A derivada de em relação a
é
. Então,
A derivada de
Passo 5
Agora, vamos calcular
, a derivada de
:
A derivada de em relação a
é
. Então,
A derivada de
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos aplicar a regra do produto:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão:
Podemos fatorar
para deixar mais bonito:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas:
Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
(g)
(g)
(Epidemias) Considere uma comunidade de
membros contendo
indivíduos infectados e
indivíduos não-infectados, porém susceptíveis, onde
. Seja
a proporção de membros doentes em
a proporção de membros sãos. Então,
Se
é grande, então é razoável supor que
e
são variáveis contínuas. Assim, a taxa na qual a doença se expande é
Assumindo que a doença se espalha pelo contato entre membros da comunidade sãos e doentes, então
é proporcional ao número de contatos que consideramos proporcional ao produto
.
onde
é a constante de proporcionalidade. Dada a condição inicial
(onde
é a densidade de indivíduos infectados no tempo
Determine em termos de
e
, e depois calcule
Determine
Sugestão: Como
, temos
Resolva esta EDO separável para
e depois avalie o limite.
Suponha que em algum intervalo
uma função
satisfaz a equação diferencial
para algum número real
(dado).
(a) Assumindo que , obtenha que devemos ter
para algum número real
.
Sugestão: use a derivada logarítmica:
(a) Assumindo que
Sugestão: use a derivada logarítmica:
(b) Por que o resultado o item (a) continua válido mesmo sem a hipótese de que
?
Sugestão: Em cada intervalo em que a solução tem sinal fixo, esta deve ter a forma . Mas se
não é a função nula, mas tem pontos em que
temos uma situação contraditória (explique).
© É possível ter uma solução que anule-se apenas em um número finito (distinto de 0) de pontos isolados ? É possível ter uma solução que seja nula apenas em um intervalo aberto, e diferente de zero fora deste intervalo?
Sugestão: os argumentos usados em (b) mostram que: ou a solução é a solução trivial , ou a solução
é diferente de zero em cada
. Explique.
Sugestão: Em cada intervalo em que a solução tem sinal fixo, esta deve ter a forma
© É possível ter uma solução que anule-se apenas em um número finito (distinto de 0) de pontos isolados ? É possível ter uma solução que seja nula apenas em um intervalo aberto, e diferente de zero fora deste intervalo?
Sugestão: os argumentos usados em (b) mostram que: ou a solução é a solução trivial