Determine a solução geral para as equações diferenciais:
(a)
Resposta:
.
(b)
Resposta:
.
©
em que
são constantes positivas conhecidas.
Sugestão: Encontre a solução geral do problema homogêneo
e uma solução particular, e utilize o Teorema da solução geral para o problema não-homogêneo para obter
(a)
(b)
©
Sugestão: Encontre a solução geral do problema homogêneo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que combina a solução da parte homogênea com uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando o lado direito da equação é igual a zero:
Essa é uma equação diferencial linear simples que podemos resolver separando as variáveis.
Passo 3
Reescrevendo a equação homogênea:
Agora, separamos as variáveis
e
:
Passo 4
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Resolvendo para
:
Então, a solução homogênea é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Vamos supor que a solução particular
tenha a forma:
Onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 7
Calculando a derivada de
:
Substituindo
e sua derivada na equação original:
Passo 8
Organizando os termos:
Para que essa igualdade valha para todos os
, os coeficientes dos termos
e
devem ser iguais:
Passo 9
Resolvendo o sistema de equações:
-
Da primeira equação:
-
Substituindo na segunda equação:
- Substituindo
na primeira equação:
Passo 10
Então, a solução particular é:
Passo 11
Finalmente, combinando a solução homogênea com a solução particular, temos a solução geral: