Determine a solução geral para as equações diferenciais:
(a)
Resposta:
.
(b)
Resposta:
.
©
em que
são constantes positivas conhecidas.
Sugestão: Encontre a solução geral do problema homogêneo
e uma solução particular, e utilize o Teorema da solução geral para o problema não-homogêneo para obter
(a)
(b)
©
Sugestão: Encontre a solução geral do problema homogêneo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que combina a solução da parte homogênea com uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando o lado direito da equação é igual a zero:
Essa é uma equação diferencial linear simples que podemos resolver separando as variáveis.
Passo 3
Reescrevendo a equação homogênea:
Agora, separamos as variáveis
e
:
Passo 4
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Resolvendo para
:
Então, a solução homogênea é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Vamos supor que a solução particular
tenha a forma:
Onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 7
Calculando a derivada de
:
Substituindo
e sua derivada na equação original:
Passo 8
Organizando os termos:
Para que essa igualdade valha para todos os
, os coeficientes dos termos
e
devem ser iguais:
Passo 9
Resolvendo o sistema de equações:
-
Da primeira equação:
-
Substituindo na segunda equação:
- Substituindo
na primeira equação:
Passo 10
Então, a solução particular é:
Passo 11
Finalmente, combinando a solução homogênea com a solução particular, temos a solução geral:
Resposta
Exercícios relacionados
Em uma pesquisa realizada com os comerciantes de uma comunidade para saber quantos tinham CNPJ (Cadastro Nacional de Pessoas Jurídicas) foi constatado que dos 24 comerciantes entrevistados, apenas 3 possuem sua empresa registrada. O percentual de microempreendedores dessa região é
a) .
b) .
c) .
d) .
a)
b)
c)
d)
Calcule as derivadas:
Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
(g)
(g)
Calcule as derivadas: