Determine a solução geral para as equações diferenciais:
(a)
d u/d t + 2 t u = t
Resposta: u(t) = 1/2 + c * exp(-x^2).
(b)
d u/d t - cotg(t) u = 2 t sen(t)
Resposta: c * sen(t) + t^2 * sen(t).
©
dT/dθ + μT = w[cos(θ) - μ sen(θ)]
em que w, mu são constantes positivas conhecidas.
Sugestão: Encontre a solução geral do problema homogêneo Th(theta; C) e uma solução particular, e utilize o Teorema da solução geral para o problema não-homogêneo para obter
T(θ)=c * exp(-μ * θ) + w * ((1 - μ^2) / (1 + μ^2)) * sen(θ) + (2 * w * μ / (1 + μ^2)) * cos(θ)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que combina a solução da parte homogênea com uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando o lado direito da equação é igual a zero:
Essa é uma equação diferencial linear simples que podemos resolver separando as variáveis.

Passo 3

Reescrevendo a equação homogênea:
Agora, separamos as variáveis e :

Passo 4

Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Resolvendo para :
Então, a solução homogênea é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Onde e são constantes que precisamos determinar.

Passo 7

Calculando a derivada de :
Substituindo e sua derivada na equação original:

Passo 8

Organizando os termos:
Para que essa igualdade valha para todos os , os coeficientes dos termos e devem ser iguais:

Passo 9

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na segunda equação:
  1. Substituindo na primeira equação:

Passo 10

Então, a solução particular é:

Passo 11

Finalmente, combinando a solução homogênea com a solução particular, temos a solução geral:

Resposta

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