Uma variável aleatória contínua tem f. d. p. dada por:
Determinar e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma variável aleatória contínua com uma função de densidade de probabilidade definida por partes. Precisamos encontrar o valor de que faz ser uma função de densidade válida (ou seja, que a área total seja 1) e depois calcular o valor esperado de , que é .

Passo 2

Primeiro, para que seja uma função de densidade válida, a integral dela em todo o seu domínio deve ser igual a 1. A função está definida de 0 a 2 e de 2 a 4, então vamos calcular essas integrais separadamente:

Passo 3

Vamos resolver as integrais:
  1. Primeira integral de 0 a 2:
  1. Segunda integral de 2 a 4:
Primeiro, expandimos:
Calculando a integral:
Avaliado de 2 a 4:
Então, a segunda integral fica:

Passo 4

Somando as duas integrais:
E sabemos que isso deve ser igual a 1:

Passo 5

Agora que temos , vamos calcular o valor esperado . A fórmula do valor esperado para uma variável contínua é:
Como é zero fora de [0,4], simplificamos para:

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. Primeira integral de 0 a 2:
  1. Segunda integral de 2 a 4:
Primeiro, expandimos:
Calculando a integral:
Avaliado de 2 a 4:

Passo 7

Somando as duas partes para obter o valor esperado:

Resposta

O valor de é e o valor esperado é ou aproximadamente 2,444.

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