Uma variável aleatória contínua tem f. d. p. dada por:
Determinar e .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma variável aleatória contínua com uma função de densidade de probabilidade definida por partes. Precisamos encontrar o valor de que faz ser uma função de densidade válida (ou seja, que a área total seja 1) e depois calcular o valor esperado de , que é .
Passo 2
Primeiro, para que seja uma função de densidade válida, a integral dela em todo o seu domínio deve ser igual a 1. A função está definida de 0 a 2 e de 2 a 4, então vamos calcular essas integrais separadamente:
Passo 3
Vamos resolver as integrais:
Primeira integral de 0 a 2:
Segunda integral de 2 a 4:
Primeiro, expandimos:
Calculando a integral:
Avaliado de 2 a 4:
Então, a segunda integral fica:
Passo 4
Somando as duas integrais:
E sabemos que isso deve ser igual a 1:
Passo 5
Agora que temos , vamos calcular o valor esperado . A fórmula do valor esperado para uma variável contínua é:
Como é zero fora de [0,4], simplificamos para:
Passo 6
Vamos resolver cada integral separadamente:
Primeira integral de 0 a 2:
Segunda integral de 2 a 4:
Primeiro, expandimos:
Calculando a integral:
Avaliado de 2 a 4:
Passo 7
Somando as duas partes para obter o valor esperado:
Resposta
O valor de é e o valor esperado é ou aproximadamente 2,444.