Uma variável aleatória contínua X tem f. d. p. dada por:
F(x)= K & se 0 <= x <= 2 K(x-1) & se 24
Determinar K e E(X).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma variável aleatória contínua com uma função de densidade de probabilidade definida por partes. Precisamos encontrar o valor de que faz ser uma função de densidade válida (ou seja, que a área total seja 1) e depois calcular o valor esperado de , que é .

Passo 2

Primeiro, para que integral0^2 K , dx + integral2^4 K(x - 1) , dx = 1 seja uma função de densidade válida, a integral dela em todo o seu domínio deve ser igual a 1. A função está definida de 0 a 2 e de 2 a 4, então vamos calcular essas integrais separadamente:

Passo 3

Vamos resolver as integrais:
  1. Primeira integral de 0 a 2:
integral0^2 K , dx = K cdot (2 - 0) = 2K
  1. Segunda integral de 2 a 4:
Primeiro, expandimos:
integral2^4 K(x - 1) , dx = K cdot integral2^4 (x - 1) , dx
Calculando a integral:
integral (x - 1) , dx = 12x^2 - x
Avaliado de 2 a 4:
[ 12(4)^2 - 4 ] - [ 12(2)^2 - 2 ] = ( 8 - 4 ) - ( 2 - 2 ) = 4 - 0 = 4
Então, a segunda integral fica:
K cdot 4

Passo 4

Somando as duas integrais:
2K + 4K = 6K
E sabemos que isso deve ser igual a 1:
6K = 1 implies K = 16

Passo 5

Agora que temos E(X) = integral-infty^+infty x F(x) , dx , vamos calcular o valor esperado E(X) = integral0^2 x cdot 16 , dx + integral2^4 x cdot 16(x - 1) , dx . A fórmula do valor esperado para uma variável contínua é:
Como é zero fora de [0,4], simplificamos para:

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. Primeira integral de 0 a 2:
16 integral0^2 x , dx = 16 cdot [ 12x^2 ]0^2 = 16 cdot ( 2 - 0 ) = 13
  1. Segunda integral de 2 a 4:
Primeiro, expandimos:
16 integral2^4 x(x - 1) , dx = 16 integral2^4 (x^2 - x) , dx
Calculando a integral:
16 [ 13x^3 - 12x^2 ]2^4
Avaliado de 2 a 4:
16 ( ( 643 - 8 ) - ( 83 - 2 ) ) = 16 ( 403 - 23 ) = 16 cdot 383 = 199

Passo 7

Somando as duas partes para obter o valor esperado:
E(X) = 13 + 199 = 39 + 199 = 229 approx 2,444

Resposta

O valor de é e o valor esperado é ou aproximadamente 2,444.

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