Determinar a média e a variância de X, cuja f. d. p. é dada por:
f(x)= 2x^2 & se 1 <= x <= 2 0 & se x<1 ou x>2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a média (valor esperado) e a variância de uma variável aleatória f(x)= 2x^2 & se 1 <= x <= 2 0 & caso contrário com a função densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por:
á
Para isso, vamos usar as fórmulas de média e variância para variáveis contínuas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média de E[X] = integral-infty^infty x cdot f(x) , dx , que é o valor esperado E[X] = integral1^2 x cdot 2x^2 , dx . A fórmula para a média é:
Mas como é diferente de zero apenas entre 1 e 2, a integral fica assim:

Passo 3

Simplificando a expressão dentro da integral:
x cdot 2x^2 = 2x
Então, a média fica:
E[X] = integral1^2 2x , dx

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral:
integral 2x , dx = 2 ln|x| + C
Aplicando os limites de 1 a 2:
E[X] = 2 ln(2) - 2 ln(1)
Sabemos que E[X] = 2 ln(2) , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a variância de Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 , que é dada por:
E[X^2] = integral1^2 x^2 cdot 2x^2 , dx = integral1^2 2 , dx
Já temos . Vamos calcular :

Passo 6

Calculando a integral:
integral1^2 2 , dx = 2x g|1^2 = 2(2) - 2(1) = 4 - 2 = 2
Então, .

Passo 7

Agora, vamos calcular a variância:
Var(X) = 2 - (2 ln(2))^2 = 2 - 4 (ln(2))^2

Resposta

A média de é e a variância é .

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