Determinar a média e a variância de , cuja f. d. p. é dada por:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a média (valor esperado) e a variância de uma variável aleatória com a função densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por:
á
Para isso, vamos usar as fórmulas de média e variância para variáveis contínuas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média de , que é o valor esperado . A fórmula para a média é:
Mas como é diferente de zero apenas entre 1 e 2, a integral fica assim:

Passo 3

Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a média fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de 1 a 2:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a variância de , que é dada por:
Já temos . Vamos calcular :

Passo 6

Calculando a integral:
Então, .

Passo 7

Agora, vamos calcular a variância:

Resposta

A média de é e a variância é .

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