Determinar a média e a variância de , cuja f. d. p. é dada por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a média (valor esperado) e a variância de uma variável aleatória com a função densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por:
Para isso, vamos usar as fórmulas de média e variância para variáveis contínuas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média de , que é o valor esperado . A fórmula para a média é:
Mas como é diferente de zero apenas entre 1 e 2, a integral fica assim:
Passo 3
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a média fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de 1 a 2:
Sabemos que , então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a variância de , que é dada por: