Dadas as funções
e
:
(a) Determine o domínio e o conjunto imagem de
.
(b) Determine o domínio e o conjunto imagem de
.
© Construa os gráficos de
e
.
(d) Calcule
e
.
(e) Determine o domínio das funções calculadas no item (d).
(a) Determine o domínio e o conjunto imagem de
(b) Determine o domínio e o conjunto imagem de
© Construa os gráficos de
(d) Calcule
(e) Determine o domínio das funções calculadas no item (d).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve funções matemáticas, mais especificamente sobre domínio, conjunto imagem, gráficos e operações entre funções. Para isso, vamos precisar entender o que são domínio e imagem de uma função, como construir gráficos e como realizar operações como soma, subtração, multiplicação, divisão e composição de funções.
Passo 2
Item (a): Determine o domínio e o conjunto imagem de
.
Primeiro, vamos entender o que é domínio e imagem de uma função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada possíveis (valores de
) para os quais a função está definida. Já o conjunto imagem é o conjunto de todos os valores de saída possíveis (valores de
) que a função pode assumir.
Para a função
:
-
Domínio: Como
está definido para todos os números reais, o domínio de é , ou seja, todos os números reais. -
Conjunto Imagem: O menor valor que
pode assumir é 0 (quando ), então . À medida que aumenta ou diminui, cresce, fazendo com que também cresça sem limites. Portanto, o conjunto imagem de é .
Passo 3
Item (b): Determine o domínio e o conjunto imagem de
.
Para a função
:
-
Domínio: Novamente, essa é uma função polinomial e está definida para todos os números reais. Portanto, o domínio de
é . -
Conjunto Imagem: Como essa é uma função linear com coeficiente angular diferente de zero, ela pode assumir qualquer valor real conforme
varia. Logo, o conjunto imagem de é .
Passo 4
Item ©: Construa os gráficos de
e
.
Vamos esboçar os gráficos das funções
e
:
-
Gráfico de
: Essa é uma parábola com a concavidade para cima. O vértice da parábola está no ponto onde, então . À medida que se afasta do zero em ambas as direções, aumenta. -
Gráfico de
: Essa é uma reta com inclinação 2 e intercepto em. Isso significa que para cada aumento de 1 em , aumenta de 2 unidades.
Esboço:
- No mesmo sistema de coordenadas, desenhe a parábola passando pelo ponto (0, -1) e subindo para ambos os lados.
- Desenhe a reta que corta o eixo
em -1 e sobe com inclinação de 2.
Passo 5
Item (d): Calcule
,
,
,
,
e
.
Vamos calcular cada uma dessas operações:
-
: -
: -
: -
: Observe que essa função está definida onde, ou seja, . -
(composição de com ): -
(composição de com ):
Passo 6
Item (e): Determine o domínio das funções calculadas no item (d).
Vamos analisar o domínio de cada função obtida:
-
: Sendo um polinômio, está definido para todos os. -
: Também é um polinômio, então. -
: Mais um polinômio, com domínio. -
: Aqui, precisamos excluir os valores que tornam o denominador zero. Resolvendo. Portanto, o domínio é . -
: Sendo um polinômio, está definido para todos os. -
: Também é um polinômio, com domínio.
Resposta
Resumindo:
(a) Domínio de
:
; Conjunto Imagem de
:
.
(b) Domínio de
:
; Conjunto Imagem de
:
.
© Os gráficos de
e
são uma parábola com vértice em (0, -1) e uma reta com inclinação 2 interceptando o eixo y em -1, respectivamente.
(d) As funções resultantes são:
(e) Os domínios das funções em (d) são:
Exercícios relacionados
Determinar algebricamente o domínio das funções
,
e
.
Faça o gráfico das funções e compare os resultados.
Faça o gráfico das funções e compare os resultados.
(a)
; (b)
Determinar algebricamente os valores de
, tais que
, sendo
e