Dadas as funções e :
(a) Determine o domínio e o conjunto imagem de .
(b) Determine o domínio e o conjunto imagem de .
© Construa os gráficos de e .
(d) Calcule e .
(e) Determine o domínio das funções calculadas no item (d).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve funções matemáticas, mais especificamente sobre domínio, conjunto imagem, gráficos e operações entre funções. Para isso, vamos precisar entender o que são domínio e imagem de uma função, como construir gráficos e como realizar operações como soma, subtração, multiplicação, divisão e composição de funções.

Passo 2

Item (a): Determine o domínio e o conjunto imagem de .
Primeiro, vamos entender o que é domínio e imagem de uma função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada possíveis (valores de ) para os quais a função está definida. Já o conjunto imagem é o conjunto de todos os valores de saída possíveis (valores de ) que a função pode assumir.
Para a função :
  • Domínio: Como está definido para todos os números reais, o domínio de é , ou seja, todos os números reais.
  • Conjunto Imagem: O menor valor que pode assumir é 0 (quando ), então . À medida que aumenta ou diminui, cresce, fazendo com que também cresça sem limites. Portanto, o conjunto imagem de é .

Passo 3

Item (b): Determine o domínio e o conjunto imagem de .
Para a função :
  • Domínio: Novamente, essa é uma função polinomial e está definida para todos os números reais. Portanto, o domínio de é .
  • Conjunto Imagem: Como essa é uma função linear com coeficiente angular diferente de zero, ela pode assumir qualquer valor real conforme varia. Logo, o conjunto imagem de é .

Passo 4

Item ©: Construa os gráficos de e .
Vamos esboçar os gráficos das funções e :
  • Gráfico de :
    Essa é uma parábola com a concavidade para cima. O vértice da parábola está no ponto onde , então . À medida que se afasta do zero em ambas as direções, aumenta.
  • Gráfico de :
    Essa é uma reta com inclinação 2 e intercepto em . Isso significa que para cada aumento de 1 em , aumenta de 2 unidades.
Esboço:
  • No mesmo sistema de coordenadas, desenhe a parábola passando pelo ponto (0, -1) e subindo para ambos os lados.
  • Desenhe a reta que corta o eixo em -1 e sobe com inclinação de 2.

Passo 5

Item (d): Calcule , , , , e .
Vamos calcular cada uma dessas operações:
  1. :
  2. :
  3. :
  4. :
    Observe que essa função está definida onde , ou seja, .
  5. (composição de com ):
  6. (composição de com ):

Passo 6

Item (e): Determine o domínio das funções calculadas no item (d).
Vamos analisar o domínio de cada função obtida:
  1. :
    Sendo um polinômio, está definido para todos os .
  2. :
    Também é um polinômio, então .
  3. :
    Mais um polinômio, com domínio .
  4. :
    Aqui, precisamos excluir os valores que tornam o denominador zero. Resolvendo . Portanto, o domínio é .
  5. :
    Sendo um polinômio, está definido para todos os .
  6. :
    Também é um polinômio, com domínio .

Resposta

Resumindo:
(a) Domínio de : ; Conjunto Imagem de : .
(b) Domínio de : ; Conjunto Imagem de : .
© Os gráficos de e são uma parábola com vértice em (0, -1) e uma reta com inclinação 2 interceptando o eixo y em -1, respectivamente.
(d) As funções resultantes são:
(e) Os domínios das funções em (d) são:

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Determinar algebricamente o domínio das funções ,
e .
Faça o gráfico das funções e compare os resultados.
(a) ; (b)
; (a) 9 ; (b)
Determinar algebricamente os valores de , tais que , sendo e