Dadas as funções e ,
(a) Esboce o gráfico de e ;
© Dê a expressão de função e verifique se existe
(b) Calcule e ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas funções definidas de formas diferentes dependendo do valor de . O exercício pede para:
  • (a) Esboçar os gráficos de e ;
  • (b) Calcular os limites de e quando se aproxima de 1;
  • © Definir uma nova função e verificar se o limite de quando tende a 1 existe.
Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Esboçando os gráficos de e

Primeiro, vamos entender como cada função se comporta para diferentes valores de .
Função :
  • Para : É uma função quadrática deslocada para cima em 3 unidades.
  • Para : É uma função linear com inclinação 1 e intercepto em 1.
Função :
  • Para : É uma parábola padrão.
  • Para : É uma função constante igual a 2.
Esboçando os gráficos:
  • Para cada função, desenhe a parte quadrática ou linear/parabólica para e a parte linear ou constante para .
  • Não esqueça de marcar o ponto onde para garantir a continuidade ou identificar descontinuidades.

Passo 3

Parte (b): Calculando e

Para calcular o limite de uma função em um ponto onde ela é definida de forma diferente à esquerda e à direita, usamos os limites laterais.
Para :
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
Como os limites laterais são diferentes ( ), o limite não existe.
Para :
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
Novamente, os limites laterais são diferentes ( ), então o limite não existe.

Passo 4

Parte ©: Definindo e verificando

Primeiro, vamos definir multiplicando e :
Simplificando:
Agora, vamos calcular o limite de quando tende a 1.
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
Como os limites laterais são iguais ( ), o limite existe e é igual a 4.

Resposta

(a) Os gráficos de e apresentam partes quadráticas e lineares/constantes, com pontos de mudança em .
(b)
ã
ã
©

Exercícios relacionados

Use a tabela para determinar o valor de cada expressão. ©
1 2 3 4 5 6
3 1 4 2 2 5
6 3 2 1 2 3
Use a tabela para determinar o valor de cada expressão. (b)
1 2 3 4 5 6
3 1 4 2 2 5
6 3 2 1 2 3
Se para todo e , verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, justifique. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
(a) não existe
(b)
© Se existir é positivo
Seja sen . Calcule: