Dadas as funções f(x)=lx^2+3 se x <= 1 x+1 se x>1 e g(x)=lx^2 se x <= 1 2 se x>1,
(a) Esboce o gráfico de f e g;
© Dê a expressão de função F(x)=f(x) cdot g(x) e verifique se existe lim x 1 F(x)
(b) Calcule lim x 1 f(x) e lim x 1 g(x);

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas funções definidas de formas diferentes dependendo do valor de . O exercício pede para:
  • (a) Esboçar os gráficos de e ;
  • (b) Calcular os limites de e quando se aproxima de 1;
  • © Definir uma nova função e verificar se o limite de quando tende a 1 existe.
Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Esboçando os gráficos de f(x) = x^2 + 3 & se x <= 1 x + 1 & se x > 1 e g(x) = x^2 & se x <= 1 2 & se x > 1

Primeiro, vamos entender como cada função se comporta para diferentes valores de .
Função :
  • Para : É uma função quadrática deslocada para cima em 3 unidades.
  • Para : É uma função linear com inclinação 1 e intercepto em 1.
Função :
  • Para : É uma parábola padrão.
  • Para : É uma função constante igual a 2.
Esboçando os gráficos:
  • Para cada função, desenhe a parte quadrática ou linear/parabólica para e a parte linear ou constante para .
  • Não esqueça de marcar o ponto onde para garantir a continuidade ou identificar descontinuidades.

Passo 3

Parte (b): Calculando f(x) = x^2 + 3 & se x <= 1 x + 1 & se x > 1 e limx to 1^- f(x) = 1^2 + 3 = 4

Para calcular o limite de uma função em um ponto onde ela é definida de forma diferente à esquerda e à direita, usamos os limites laterais.
Para limx to 1^+ f(x) = 1 + 1 = 2 :
g(x) = x^2 & se x <= 1 2 & se x > 1
  • Limite pela esquerda ( limx to 1^- g(x) = 1^2 = 1 ):
limx to 1^+ g(x) = 2
  • Limite pela direita ( ):
Como os limites laterais são diferentes ( ), o limite não existe.
Para :
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
Novamente, os limites laterais são diferentes ( ), então o limite não existe.

Passo 4

Parte ©: Definindo F(x) = f(x) cdot g(x) = (x^2 + 3) cdot x^2 & se x <= 1 (x + 1) cdot 2 & se x > 1 e verificando F(x) = x^4 + 3x^2 & se x <= 1 2x + 2 & se x > 1

Primeiro, vamos definir limx to 1^- F(x) = 1^4 + 3 cdot 1^2 = 1 + 3 = 4 multiplicando limx to 1^+ F(x) = 2 cdot 1 + 2 = 2 + 2 = 4 e :
Simplificando:
Agora, vamos calcular o limite de quando tende a 1.
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
Como os limites laterais são iguais ( ), o limite existe e é igual a 4.

Resposta

(a) Os gráficos de limx to 1 f(x) não existe e limx to 1 g(x) não existe apresentam partes quadráticas e lineares/constantes, com pontos de mudança em limx to 1 F(x) = 4 .
(b)
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