Dadas as funções
e
,
(a) Esboce o gráfico de
e
;
© Dê a expressão de função
e verifique se existe
(b) Calcule
e
;
(a) Esboce o gráfico de
© Dê a expressão de função
(b) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas funções definidas de formas diferentes dependendo do valor de
. O exercício pede para:
- (a) Esboçar os gráficos de
e ; - (b) Calcular os limites de
e quando se aproxima de 1; - © Definir uma nova função
e verificar se o limite de quando tende a 1 existe.
Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Esboçando os gráficos de
e
Primeiro, vamos entender como cada função se comporta para diferentes valores de
.
Função
:
- Para
: É uma função quadrática deslocada para cima em 3 unidades. - Para
: É uma função linear com inclinação 1 e intercepto em 1.
Função
:
- Para
: É uma parábola padrão. - Para
: É uma função constante igual a 2.
Esboçando os gráficos:
- Para cada função, desenhe a parte quadrática ou linear/parabólica para
e a parte linear ou constante para . - Não esqueça de marcar o ponto onde
para garantir a continuidade ou identificar descontinuidades.
Passo 3
Parte (b): Calculando
e
Para calcular o limite de uma função em um ponto onde ela é definida de forma diferente à esquerda e à direita, usamos os limites laterais.
Para
:
- Limite pela esquerda (
):
- Limite pela direita (
):
Como os limites laterais são diferentes (
), o limite
não existe.
Para
:
- Limite pela esquerda (
):
- Limite pela direita (
):
Novamente, os limites laterais são diferentes (
), então o limite
não existe.
Passo 4
Parte ©: Definindo
e verificando
Primeiro, vamos definir
multiplicando
e
:
Simplificando:
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende a 1.
- Limite pela esquerda (
):
- Limite pela direita (
):
Como os limites laterais são iguais (
), o limite
existe e é igual a 4.
Resposta
(a) Os gráficos de
e
apresentam partes quadráticas e lineares/constantes, com pontos de mudança em
.
(b)
©
Exercícios relacionados
Use a tabela para determinar o valor de cada expressão. ©
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1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
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3 | 1 | 4 | 2 | 2 | 5 |
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6 | 3 | 2 | 1 | 2 | 3 |
Use a tabela para determinar o valor de cada expressão. (b)
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1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
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3 | 1 | 4 | 2 | 2 | 5 |
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6 | 3 | 2 | 1 | 2 | 3 |
Se
para todo
e
, verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, justifique. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
(a) não existe
(b)
© Se existir é positivo
(a)
(b)
© Se existir
Seja
sen
. Calcule: