Se
para todo
e
, verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, justifique. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
(a)
não existe
(b)
© Se existir
é positivo
(a)
(b)
© Se existir
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos uma função
que é maior que zero para todo
diferente de zero, ou seja,
quando
. Além disso, sabemos que
. Vamos usar esses dados para verificar se as afirmações (a), (b) e © são verdadeiras ou falsas.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que significa o limite de uma função. O limite de
quando
se aproxima de 2, escrito como
, é o valor que
tende a assumir à medida que
se aproxima de 2, sem necessariamente que
seja igual a esse valor.
Passo 3
Afirmação (a):
não existe.
Para verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa, precisamos analisar o comportamento de
perto de
. Sabemos que
para todo
, então perto de 2,
é positivo. Se o limite existisse e fosse um valor único, a afirmação seria falsa. Entretanto, como sabemos que
, isso significa que há uma descontinuidade no ponto
.
Conclusão: A afirmação é falsa. O limite pode existir mesmo que
seja diferente. Por exemplo, se
para todo
e
, então
existe.
Passo 4
Afirmação (b):
.
Aqui, precisamos ver se o limite de
quando
se aproxima de 2 é igual a -3. Mas, lembrando que
para todo
, isso significa que, perto de 2,
é positivo. Logo, ele não pode se aproximar de um valor negativo como -3.
Conclusão: A afirmação é falsa. Um contra-exemplo seria a mesma função do passo anterior:
para
e
. Nesse caso,
, que é diferente de -3.
Passo 5
Afirmação ©: Se existir
, então ele é positivo.
Sabemos que
para todo
. Isso significa que, conforme
se aproxima de 2,
está sempre positivo. Portanto, se o limite existir, ele deve ser um número positivo, já que os valores de
próximos a 2 não são negativos.
Conclusão: A afirmação é verdadeira. O limite, se existir, deve ser positivo.
Resposta
(a) Falsa. Por exemplo, se
para todo
e
, então
existe.
(b) Falsa. Usando o mesmo exemplo,
.
© Verdadeira. Como
para
, o limite, se existir, deve ser positivo.