Se f(x)>0 para todo x neq 0 e f(2)=-3, verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, justifique. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
(a) lim x 2 f(x) não existe
(b) lim x 2 f(x)=-3
© Se existir lim x 2 f(x) é positivo

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos uma função que é maior que zero para todo diferente de zero, ou seja, quando . Além disso, sabemos que . Vamos usar esses dados para verificar se as afirmações (a), (b) e © são verdadeiras ou falsas.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que significa o limite de uma função. O limite de quando se aproxima de 2, escrito como , é o valor que tende a assumir à medida que se aproxima de 2, sem necessariamente que seja igual a esse valor.

Passo 3

Afirmação (a): não existe.
Para verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa, precisamos analisar o comportamento de perto de . Sabemos que para todo , então perto de 2, é positivo. Se o limite existisse e fosse um valor único, a afirmação seria falsa. Entretanto, como sabemos que , isso significa que há uma descontinuidade no ponto .
Conclusão: A afirmação é falsa. O limite pode existir mesmo que seja diferente. Por exemplo, se para todo e , então existe.

Passo 4

Afirmação (b): .
Aqui, precisamos ver se o limite de quando se aproxima de 2 é igual a -3. Mas, lembrando que para todo , isso significa que, perto de 2, é positivo. Logo, ele não pode se aproximar de um valor negativo como -3.
Conclusão: A afirmação é falsa. Um contra-exemplo seria a mesma função do passo anterior: para e . Nesse caso, , que é diferente de -3.

Passo 5

Afirmação ©: Se existir , então ele é positivo.
Sabemos que para todo . Isso significa que, conforme se aproxima de 2, está sempre positivo. Portanto, se o limite existir, ele deve ser um número positivo, já que os valores de próximos a 2 não são negativos.
Conclusão: A afirmação é verdadeira. O limite, se existir, deve ser positivo.

Resposta

(a) Falsa. Por exemplo, se para todo e , então existe.
(b) Falsa. Usando o mesmo exemplo, .
© Verdadeira. Como para , o limite, se existir, deve ser positivo.

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