Dadas as funções
a seguir, determine suas raízes reais:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as raízes reais das funções dadas. O conteúdo que vamos utilizar envolve a resolução de equações polinomiais e análise de funções. Precisaremos aplicar técnicas de fatoração e entender como o comportamento dos polinômios afeta a existência de raízes reais.
Passo 2
Vamos começar com a função a):
Queremos encontrar os valores de
que satisfazem
:
Passo 3
Vamos reescrever a equação para facilitar a análise:
Aqui, percebemos que é uma equação de quarto grau. Uma estratégia comum é tentar fatorar ou usar substituição para resolver.
Passo 4
Fazendo uma substituição, seja
, então a equação fica:
Agora, temos uma equação quadrática em
.
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para
:
Passo 6
Agora, lembrando que
, substituímos de volta:
Para :
Para
Para
:
Neste caso, não há solução real, pois o quadrado de um número real não pode ser negativo.
Passo 7
Agora, vamos para a função b):
Queremos encontrar os valores de
que satisfazem
:
Passo 8
Perceba que a equação é de sexto grau, mas podemos simplificar usando uma substituição. Seja
, então a equação fica:
Agora, temos uma equação quadrática em
.
Passo 9
Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para
:
Passo 10
Voltando à substituição
:
Para
:
Para
:
Passo 11
Finalmente, vamos resolver a função c):
Queremos encontrar os valores de
que satisfazem
:
Passo 12
Vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2:
Novamente, fazemos a substituição
:
Passo 13
Resolvendo a equação quadrática:
As soluções são:
Passo 14
Voltando à substituição
:
Para
e
:
Ambas as equações não têm solução real, já que o quadrado de um número real não pode ser negativo.
Resposta
A função
não possui raízes reais.
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta que passa pelo ponto
e tem coeficiente linear igual a
.
Estude o sinal das funções dos itens:
e (e) do exercício 3 .
Sejam
e
. Determine o domínio, a imagem e a expressão que representa
e
:
a) e
b) e
c) e
d) e
a)
b)
c)
d)
Usando a definição da derivada de uma função num ponto, encontre para
a função
.