Dadas as funções f: R -> R a seguir, determine suas raízes reais:
a) f(x) = -x^4 + 5x^2 + 36
b) f(x) = x^6 - 7 x^3 - 8
c) f(x) = 2 x^4 + 6 x^2 + 4

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as raízes reais das funções dadas. O conteúdo que vamos utilizar envolve a resolução de equações polinomiais e análise de funções. Precisaremos aplicar técnicas de fatoração e entender como o comportamento dos polinômios afeta a existência de raízes reais.

Passo 2

Vamos começar com a função a):
Queremos encontrar os valores de que satisfazem :

Passo 3

Vamos reescrever a equação para facilitar a análise:
Aqui, percebemos que é uma equação de quarto grau. Uma estratégia comum é tentar fatorar ou usar substituição para resolver.

Passo 4

Fazendo uma substituição, seja , então a equação fica:
Agora, temos uma equação quadrática em .

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para :

Passo 6

Agora, lembrando que , substituímos de volta:
Para :
Para :
Neste caso, não há solução real, pois o quadrado de um número real não pode ser negativo.

Passo 7

Agora, vamos para a função b):
Queremos encontrar os valores de que satisfazem :

Passo 8

Perceba que a equação é de sexto grau, mas podemos simplificar usando uma substituição. Seja , então a equação fica:
Agora, temos uma equação quadrática em .

Passo 9

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para :

Passo 10

Voltando à substituição :
Para :
Para :

Passo 11

Finalmente, vamos resolver a função c):
Queremos encontrar os valores de que satisfazem :

Passo 12

Vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2:
Novamente, fazemos a substituição :

Passo 13

Resolvendo a equação quadrática:
As soluções são:

Passo 14

Voltando à substituição :
Para e :
Ambas as equações não têm solução real, já que o quadrado de um número real não pode ser negativo.

Resposta

A função não possui raízes reais.

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Sejam f: A ⊆ R → B ⊆ R e g: C ⊆ R → D ⊆ R. Determine o domínio, a imagem e a expressão que representa f(g(x)) e g(f(x)) :
a) f(x) = x + 4 e g(x) = x - 1
b) f(x) = 3x - 4 e g(x) = 3x + x^2
c) f(x) = 4x - 1 e g(x) = -x + 3
d) f(x) = raiz(x) e g(x) = x^2 - 36
Usando a definição da derivada de uma função num ponto, encontre para f(x) = 5 x^2 + 6 x - 1 a função f'(2).