Usando a definição da derivada de uma função num ponto, encontre para f(x) = 5 x^2 + 6 x - 1 a função f'(2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente encontrar a derivada da função no ponto usando a definição de derivada. Basicamente, vamos ver como a função está mudando exatamente nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada em um ponto . A derivada de em é dada por:
Isso significa que estamos olhando para a taxa de variação da função bem perto de .

Passo 3

No nosso caso, . Então, vamos substituir na fórmula:
Agora, precisamos calcular e .

Passo 4

Vamos começar calculando :

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Primeiro, expandimos :
Então, substituindo:
Simplificando:

Passo 6

Agora, voltamos à definição da derivada substituindo e :

Passo 7

Vamos simplificar a fração:
Agora, tiramos o limite quando se aproxima de 0:

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Sejam f: A ⊆ R → B ⊆ R e g: C ⊆ R → D ⊆ R. Determine o domínio, a imagem e a expressão que representa f(g(x)) e g(f(x)) :
a) f(x) = x + 4 e g(x) = x - 1
b) f(x) = 3x - 4 e g(x) = 3x + x^2
c) f(x) = 4x - 1 e g(x) = -x + 3
d) f(x) = raiz(x) e g(x) = x^2 - 36
Dadas as funções f: R -> R a seguir, determine suas raízes reais:
a) f(x) = -x^4 + 5x^2 + 36
b) f(x) = x^6 - 7 x^3 - 8
c) f(x) = 2 x^4 + 6 x^2 + 4
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y = 5 / (1 + x^2), nos seguintes pontos:
(b) (1, 5/2)
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y = 5 / (1 + x^2), nos seguintes pontos:
(a) 0,5