Usando a definição da derivada de uma função num ponto, encontre para
a função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente encontrar a derivada da função
no ponto
usando a definição de derivada. Basicamente, vamos ver como a função está mudando exatamente nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada em um ponto
. A derivada de
em
é dada por:
Isso significa que estamos olhando para a taxa de variação da função bem perto de
.
Passo 3
No nosso caso,
. Então, vamos substituir na fórmula:
Agora, precisamos calcular
e
.
Passo 4
Vamos começar calculando
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Primeiro, expandimos
:
Então, substituindo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, voltamos à definição da derivada substituindo
e
:
Passo 7
Vamos simplificar a fração:
Agora, tiramos o limite quando
se aproxima de 0:
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Determine o domínio, a imagem e a expressão que representa
e
:
a) e
b) e
c) e
d) e
a)
b)
c)
d)
Dadas as funções
a seguir, determine suas raízes reais:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
, nos seguintes pontos:
(b)
(b)
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
, nos seguintes pontos:
(a)
(a)