Dadas as matrizes abaixo indicadas; dadas as correspondentes igualdades. Mostrar que as matrizes são invertíveis e calcular suas inversas.
19.1 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz e uma relação envolvendo . Nosso objetivo é mostrar que é inversível e calcular . Para isso, vamos precisar entender o que é uma matriz inversa e como a relação dada pode nos ajudar a encontrar essa inversa.
Passo 2
Primeiro, uma matriz é inversível se existir outra matriz que, quando multiplicada por ela, resulta na matriz identidade. A matriz identidade A cdot A^-1 = I é como o número 1 para a multiplicação de matrizes. Então, queremos achar tal que:
Passo 3
Agora, vamos usar a relação que foi dada: A^2 + A - 2I3 = 0 . Isso significa que quando a gente multiplica por ela mesma, resulta em menos .
Vamos reescrever essa equação para facilitar:
Passo 4
O que achamos aqui parece uma equação quadrática, mas em termos de matrizes. Podemos tentar fatorar essa equação. Vamos procurar dois números que multiplicados dão -2 e somados dão +1. Esses números são +2 e -1. Então, podemos fatorar assim:
(A + 2I3)(A - I3) = 0
Passo 5
Essa fatora��ão nos diz que ou multiplicados dão zero. Mas para uma matriz ser invertível, ela não pode ter determinante zero, ou seja, não pode ser singular.
Passo 6
Vamos rearranjar a equação original para expressar A^2 = 2I3 - A . A equação que temos é:
A^2 + A = 2I3
Vamos somar A(A + I3) = 2I3 nos dois lados:
Agora, fatoramos :
Passo 7
Para isolar A^-1 cdot A (A + I3) = A^-1 cdot 2I3 , multiplicamos os dois lados pela inversa de (A + I3) = 2A^-1 :