Dadas as matrizes abaixo indicadas; dadas as correspondentes igualdades. Mostrar que as matrizes são invertíveis e calcular suas inversas.
19.1 A=[rrr-1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1] ; A^2=2 I3-A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz e uma relação envolvendo . Nosso objetivo é mostrar que é inversível e calcular . Para isso, vamos precisar entender o que é uma matriz inversa e como a relação dada pode nos ajudar a encontrar essa inversa.

Passo 2

Primeiro, uma matriz é inversível se existir outra matriz que, quando multiplicada por ela, resulta na matriz identidade. A matriz identidade A cdot A^-1 = I é como o número 1 para a multiplicação de matrizes. Então, queremos achar tal que:

Passo 3

Agora, vamos usar a relação que foi dada: A^2 + A - 2I3 = 0 . Isso significa que quando a gente multiplica por ela mesma, resulta em menos .
Vamos reescrever essa equação para facilitar:

Passo 4

O que achamos aqui parece uma equação quadrática, mas em termos de matrizes. Podemos tentar fatorar essa equação. Vamos procurar dois números que multiplicados dão -2 e somados dão +1. Esses números são +2 e -1. Então, podemos fatorar assim:
(A + 2I3)(A - I3) = 0

Passo 5

Essa fatora��ão nos diz que ou multiplicados dão zero. Mas para uma matriz ser invertível, ela não pode ter determinante zero, ou seja, não pode ser singular.

Passo 6

Vamos rearranjar a equação original para expressar A^2 = 2I3 - A . A equação que temos é:
A^2 + A = 2I3
Vamos somar A(A + I3) = 2I3 nos dois lados:
Agora, fatoramos :

Passo 7

Para isolar A^-1 cdot A (A + I3) = A^-1 cdot 2I3 , multiplicamos os dois lados pela inversa de (A + I3) = 2A^-1 :
Simplificando:

Passo 8

Finalmente, isolamos A^-1 = 12(A + I3) :

Resposta

A matriz A^-1 = 12(A + I3) = 12 -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 + 12 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = 0 & 12 & 12 12 & 0 & 12 12 & 12 & 0 é inversível e sua inversa é dada por:
A^-1 = 0 & 12 & 12 12 & 0 & 12 12 & 12 & 0
Então, a inversa de é:

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8.2 KHC8 H4 O4+KOH longrightarrow K2 C8 H4 O4+H2 O
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