Determine se os seguintes conjuntos são subesespaços vetoriais (sobre
). O conjunto dos vetores de
cujas primeiras
coordenadas são iguais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se determinado conjunto é um subespaço vetorial no espaço
. Especificamente, estamos olhando para o conjunto dos vetores em
onde as primeiras
coordenadas são iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se esse conjunto satisfaz as três propriedades fundamentais de um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de conter o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Ou seja, para um conjunto ser subespaço, ele precisa:
- Conter o vetor zero.
- Se você pegar dois vetores quaisquer no conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
- Se você pegar qualquer vetor no conjunto e multiplicar por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto dado: vetores em
cujas primeiras
coordenadas são iguais. Vamos representar um vetor qualquer desse conjunto como:
Aqui, as primeiras
coordenadas são todas iguais a
, e as demais podem ser quaisquer números reais.
Passo 4
Primeira Propriedade: Vetor Zero
O vetor zero em
é:
Observe que todas as coordenadas são iguais a zero. Portanto, as primeiras
coordenadas também são iguais. Assim, o vetor zero pertence ao nosso conjunto.
Passo 5
Segunda Propriedade: Fechado sob Adição
Vamos pegar dois vetores quaisquer desse conjunto:
Agora, somando esses dois vetores:
As primeiras
coordenadas do vetor resultante são todas iguais a
, então elas continuam sendo iguais entre si. Portanto, a soma de dois vetores do conjunto também está no conjunto.
Passo 6
Terceira Propriedade: Fechado sob Multiplicação por Escalar
Vamos pegar um vetor qualquer do conjunto:
E multiplicá-lo por um escalar
:
As primeiras
coordenadas do vetor resultante são todas iguais a
, então elas permanecem iguais entre si. Assim, a multiplicação por um escalar mantém o vetor dentro do conjunto.
Resposta
Como o conjunto dos vetores em
cujas primeiras
coordenadas são iguais satisfaz todas as propriedades de um subespaço vetorial (contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar), concluímos que ele é um subespaço vetorial de
.
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