Determine se os seguintes conjuntos são subesespaços vetoriais (sobre R ). O conjunto dos vetores de R^n cujas primeiras k coordenadas são iguais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se determinado conjunto é um subespaço vetorial no espaço R^n. Especificamente, estamos olhando para o conjunto dos vetores em R^n onde as primeiras k coordenadas são iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se esse conjunto satisfaz as três propriedades fundamentais de um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de conter o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Ou seja, para um conjunto ser subespaço, ele precisa:
  1. Conter o vetor zero.
  2. Se você pegar dois vetores quaisquer no conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Se você pegar qualquer vetor no conjunto e multiplicar por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto dado: vetores em R^n cujas primeiras k coordenadas são iguais. Vamos representar um vetor qualquer desse conjunto como:
v = (a, a, a, dots, a, vk+1, vk+2, dots, vn)
Aqui, as primeiras k coordenadas são todas iguais a a, e as demais podem ser quaisquer números reais.

Passo 4

Primeira Propriedade: Vetor Zero
O vetor zero em R^n é:
0 = (0, 0, 0, dots, 0)
Observe que todas as coordenadas são iguais a zero. Portanto, as primeiras k coordenadas também são iguais. Assim, o vetor zero pertence ao nosso conjunto.

Passo 5

Segunda Propriedade: Fechado sob Adição
Vamos pegar dois vetores quaisquer desse conjunto:
u = (a, a, dots, a, uk+1, dots, un)
v = (b, b, dots, b, vk+1, dots, vn)
Agora, somando esses dois vetores:
u + v = (a + b, a + b, dots, a + b, uk+1 + vk+1, dots, un + vn)
As primeiras k coordenadas do vetor resultante são todas iguais a a + b, então elas continuam sendo iguais entre si. Portanto, a soma de dois vetores do conjunto também está no conjunto.

Passo 6

Terceira Propriedade: Fechado sob Multiplicação por Escalar
Vamos pegar um vetor qualquer do conjunto:
v = (a, a, dots, a, vk+1, dots, vn)
E multiplicá-lo por um escalar c in R:
cv = (c cdot a, c cdot a, dots, c cdot a, c cdot vk+1, dots, c cdot vn)
As primeiras k coordenadas do vetor resultante são todas iguais a c cdot a, então elas permanecem iguais entre si. Assim, a multiplicação por um escalar mantém o vetor dentro do conjunto.

Resposta

Como o conjunto dos vetores em R^n cujas primeiras k coordenadas são iguais satisfaz todas as propriedades de um subespaço vetorial (contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar), concluímos que ele é um subespaço vetorial de R^n.

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