Dadas as matrizes A(lla & c+2 a b & d+2 b) e B=(lla & c b & d) mostre que det A=det B.

Passo 1

Vamos entender o enunciado: temos duas matrizes quadradas de ordem 2, chamadas A e B. A matriz A é dada por
A = a & c + 2a b & d + 2b ,
e a matriz B por
B = a & c b & d
O objetivo é mostrar que o determinante de A é igual ao determinante de B, ou seja, det A = det B. Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante de matrizes 2x2 e propriedades das operações elementares que não alteram o determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 2x2. Para uma matriz qualquer
M = m11 & m12 m21 & m22 ,
o determinante é dado por:
det M = m11 cdot m22 - m12 cdot m21

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A usando a fórmula acima:
det A = a cdot (d + 2b) - (c + 2a) cdot b
Agora, distribuímos os termos:
det A = a d + 2a b - b c - 2a b
Observamos que os termos 2a b se cancelam:
det A = a d - b c

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante da matriz B:
det B = a cdot d - c cdot b
Simplificando, temos:
det B = a d - b c

Resposta

Como det A = a d - b c e det B = a d - b c, concluímos que det A = det B.

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