Considere a matriz
A matriz é chamada matriz de Hilbert de quinta ordem.
(b) Resolva a equação para um conveniente de modo a determinar a última coluna da inversa da matriz .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma matriz chamada matriz de Hilbert de quinta ordem, que é uma matriz quadrada 5x5 com entradas específicas. A questão pede para resolver a equação para um vetor que seja conveniente, de modo a determinar a última coluna da inversa da matriz . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas e resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa encontrar a última coluna da inversa da matriz . Sabemos que a inversa de uma matriz , denotada por , satisfaz a relação , onde é a matriz identidade. Cada coluna de corresponde à solução de um sistema linear , onde é o vetor coluna da matriz identidade com 1 na -ésima posição e 0 nas demais.

Passo 3

Como queremos encontrar a última coluna de , vamos definir o vetor como sendo o quinto vetor da matriz identidade, ou seja:
Isso significa que resolveremos a equação para encontrar o vetor , que será a última coluna de .

Passo 4

Agora, vamos resolver o sistema . Para isso, podemos usar métodos de resolução de sistemas lineares, como o método de eliminação de Gauss, substituição ou utilizar uma calculadora/matemática computacional para encontrar a solução. O vetor resultante será a última coluna da matriz inversa .

Passo 5

Após resolver o sistema , obtemos o vetor que corresponde à última coluna de . Esse vetor contém os coeficientes que, quando multiplicados pela matriz , resultam no vetor , conforme a definição da inversa.

Resposta

A última coluna da inversa da matriz é o vetor solução obtido ao resolver .

Exercícios relacionados

Ache equações paramétricas da reta que passa por e é perpendicular ao plano nos casos:
Dadas as matrizes e mostre que .
Mostre que .
Nos exercícios seguintes determine os valores dos parâmetros envolvidos de forma que as matrizes sejam inversíveis.
(b)