Considere a matriz
A=[ccccc 1 & 1 / 2 & 1 / 3 & 1 / 4 & 1 / 5 1 / 2 & 1 / 3 & 1 / 4 & 1 / 5 & 1 / 6 1 / 3 & 1 / 4 & 1 / 5 & 1 / 6 & 1 / 7 1 / 4 & 1 / 5 & 1 / 6 & 1 / 7 & 1 / 8 1 / 5 & 1 / 6 & 1 / 7 & 1 / 8 & 1 / 9 ]
A matriz A é chamada matriz de Hilbert de quinta ordem.
(b) Resolva a equação A X=B para um B conveniente de modo a determinar a última coluna da inversa da matriz A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma matriz chamada matriz de Hilbert de quinta ordem, que é uma matriz quadrada 5x5 com entradas específicas. A questão pede para resolver a equação para um vetor que seja conveniente, de modo a determinar a última coluna da inversa da matriz . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas e resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa encontrar a última coluna da inversa da matriz . Sabemos que a inversa de uma matriz , denotada por , satisfaz a relação , onde é a matriz identidade. Cada coluna de corresponde à solução de um sistema linear , onde é o vetor coluna da matriz identidade com 1 na -ésima posição e 0 nas demais.

Passo 3

Como queremos encontrar a última coluna de B = e5 = 0 0 0 0 1 , vamos definir o vetor como sendo o quinto vetor da matriz identidade, ou seja:
Isso significa que resolveremos a equação para encontrar o vetor , que será a última coluna de .

Passo 4

Agora, vamos resolver o sistema . Para isso, podemos usar métodos de resolução de sistemas lineares, como o método de eliminação de Gauss, substituição ou utilizar uma calculadora/matemática computacional para encontrar a solução. O vetor resultante será a última coluna da matriz inversa .

Passo 5

Após resolver o sistema , obtemos o vetor que corresponde à última coluna de . Esse vetor contém os coeficientes que, quando multiplicados pela matriz , resultam no vetor , conforme a definição da inversa.

Resposta

A última coluna da inversa da matriz é o vetor solução obtido ao resolver .

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