Dadas as matrizes quadradas
abaixo indicadas, calcluar
, etc. Induzir o valor de
para todo número natural
.
15.1 \quad
15.1 \quad
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente recebeu a matriz quadrada
e precisamos calcular
,
, e assim por diante, até chegar numa fórmula geral para
, onde
é um número natural. Vamos precisar saber como multiplicar matrizes e identificar padrões nos resultados para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que significa multiplicar a matriz
por ela mesma. A multiplicação de matrizes é feita linha por coluna. Vamos ver isso na prática:
Agora, vamos calcular cada elemento da nova matriz:
-
Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
-
Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
-
Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
-
Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Então, a matriz
fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular
, que é
multiplicado por
:
Vamos calcular cada elemento:
-
Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
-
Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
-
Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
-
Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Então, a matriz
fica:
Passo 4
Vamos observar os resultados que encontramos:
Percebi que
e
. Vamos ver se isso se repete para
:
Parece que a cada potência, o coeficiente multiplica por 2.
Passo 5
Com base nesses cálculos, conseguimos identificar um padrão. Observamos que:
Percebeu? A cada aumento de potência, o número que multiplica
está dobrando. Isso significa que para a potência
, o coeficiente será
. Então, podemos generalizar a fórmula para
:
Resposta
Para todo número natural
, a potência
é dada por: