Dadas as matrizes quadradas abaixo indicadas, calcluar , etc. Induzir o valor de para todo número natural .
15.1 \quad
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente recebeu a matriz quadrada e precisamos calcular , , e assim por diante, até chegar numa fórmula geral para , onde é um número natural. Vamos precisar saber como multiplicar matrizes e identificar padrões nos resultados para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular , que significa multiplicar a matriz por ela mesma. A multiplicação de matrizes é feita linha por coluna. Vamos ver isso na prática:
Agora, vamos calcular cada elemento da nova matriz:
Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Então, a matriz fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular , que é multiplicado por :
Vamos calcular cada elemento:
Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Então, a matriz fica:
Passo 4
Vamos observar os resultados que encontramos:
Percebi que e . Vamos ver se isso se repete para :
Parece que a cada potência, o coeficiente multiplica por 2.
Passo 5
Com base nesses cálculos, conseguimos identificar um padrão. Observamos que:
Percebeu? A cada aumento de potência, o número que multiplica está dobrando. Isso significa que para a potência , o coeficiente será . Então, podemos generalizar a fórmula para :