Dadas as matrizes quadradas M abaixo indicadas, calcluar M^2, M^3, etc. Induzir o valor de M^n para todo número natural n in N.
15.1 \quad M=[rr1 & -1 -1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente recebeu a matriz quadrada 1 & -1 -1 & 1 e precisamos calcular , , e assim por diante, até chegar numa fórmula geral para , onde é um número natural. Vamos precisar saber como multiplicar matrizes e identificar padrões nos resultados para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular M^2 = M times M = 1 & -1 -1 & 1 times 1 & -1 -1 & 1 , que significa multiplicar a matriz (1 times 1) + (-1 times -1) = 1 + 1 = 2 por ela mesma. A multiplicação de matrizes é feita linha por coluna. Vamos ver isso na prática:
(1 times -1) + (-1 times 1) = -1 -1 = -2
Agora, vamos calcular cada elemento da nova matriz:
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
    (-1 times 1) + (1 times -1) = -1 -1 = -2
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
    (-1 times -1) + (1 times 1) = 1 + 1 = 2
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
    M^2 = 2 & -2 -2 & 2
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Então, a matriz fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular M^3 = M^2 times M = 2 & -2 -2 & 2 times 1 & -1 -1 & 1 , que é (2 times 1) + (-2 times -1) = 2 + 2 = 4 multiplicado por (2 times -1) + (-2 times 1) = -2 -2 = -4 :
(-2 times 1) + (2 times -1) = -2 -2 = -4
Vamos calcular cada elemento:
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
    (-2 times -1) + (2 times 1) = 2 + 2 = 4
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
    M^3 = 4 & -4 -4 & 4
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Então, a matriz fica:

Passo 4

Vamos observar os resultados que encontramos:
M = 1 & -1 -1 & 1
M^2 = 2 & -2 -2 & 2 = 2 times 1 & -1 -1 & 1 = 2M
M^3 = 4 & -4 -4 & 4 = 4 times 1 & -1 -1 & 1 = 4M
Percebi que M^4 = M^3 times M = 4M times M = 4 times M^2 = 4 times 2M = 8M e . Vamos ver se isso se repete para :
Parece que a cada potência, o coeficiente multiplica por 2.

Passo 5

Com base nesses cálculos, conseguimos identificar um padrão. Observamos que:
M^1 = M
M^2 = 2M
M^3 = 4M
M^4 = 8M
vdots
Percebeu? A cada aumento de potência, o número que multiplica M^n = 2^n-1 times M está dobrando. Isso significa que para a potência , o coeficiente será . Então, podemos generalizar a fórmula para :

Resposta

Para todo número natural M^n = 2^n-1 times 1 & -1 -1 & 1 , a potência é dada por:

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