Seja a matriz .
13.1 Existe matriz B in Mat2 times 3(R) tal que A B=I3 ? Se a resposta for afirmativa, determinar uma tal matriz B.
Passo 1
Então, galera, vamos lá! Temos uma matriz A = 0 & 1 1 & 0 1 & 1 que é :
A pergunta é: existe uma matriz de tamanho tal que quando multiplicamos por , o resultado seja a matriz identidade de ? Ou seja, queremos saber se . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre multiplicação de matrizes e a ideia de posto (rank) das matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a multiplicação de duas matrizes e só é possível se o número de colunas de for igual ao número de linhas de . Aqui, é e é , então a multiplicação está ok e o produto será uma matriz .
Passo 3
Agora, precisamos entender o que seria a matriz identidade I3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . É uma matriz quadrada com 1’s na diagonal principal e 0’s nas outras posições:
Queremos que seja exatamente isso.
Passo 4
Vamos falar sobre o posto (rank) das matrizes. O posto de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes. Para multiplicar e , o posto de não pode ser maior que o menor posto entre e .
Passo 5
Vamos calcular o posto de A = 0 & 1 1 & 0 1 & 1 . Olhando para 0 1 1:
1 0 1
As colunas são e . Elas são linearesmente independentes porque nenhuma é múltiplo da outra. Então, o posto de é 2.
Passo 6
Agora, queremos que . A matriz identidade tem posto 3. Mas, como vimos, o posto de é no máximo o menor posto entre e , que é 2 (pois o posto de é 2). Isso significa que não pode ter posto 3, ou seja, não pode ser igual à matriz identidade .