Determinar se cada matriz abaixo indicada é invertível; em caso afirmativo, calcular sua inversa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a matriz é invertível. Se for, calcular a inversa dela. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes e determinantes. Vamos precisar calcular o determinante da matriz para saber se ela é invertível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e podemos seguir para encontrar a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A = 1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1 . A matriz dada é:
Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar.
Passo 3
Aplicando a regra de Sarrus, escrevemos a matriz 1 & 1 & 2 & | & 1 & 1 1 & 2 & 1 & | & 1 & 2 2 & 1 & 1 & | & 2 & 1 e repetimos as duas primeiras colunas à direita:
Agora, somamos os produtos das diagonais principais e subtraímos os produtos das diagonais secundárias.
Passo 4
Calculando as diagonais principais:
Somando esses valores:
Calculando as diagonais secundárias:
Somando esses valores:
Passo 5
Agora, subtraímos a soma das diagonais secundárias da soma das diagonais principais:
Portanto, o determinante da matriz é .
Passo 6
Como o determinante de é (que é diferente de zero), isso significa que a matriz é invertível. Agora, vamos calcular a inversa dela.
Passo 7
Para encontrar a inversa de uma matriz 3x3, usamos a seguinte fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A)
Onde é o determinante de e é a matriz adjunta de .
Passo 8
Primeiro, já sabemos que . Agora, precisamos calcular a matriz adjunta, que é a transposta da matriz dos cofatores de .
Vamos calcular os cofatores de cada elemento de .
Passo 9
Calculando os cofatores:
Para cada elemento Cij = (-1)^i+j cdot Mij da matriz , o cofator é dado por:
onde é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz 2x2 que resulta de remover a i-ésima linha e a j-ésima coluna de .