Determinar se cada matriz abaixo indicada é invertível; em caso afirmativo, calcular sua inversa.
20.1 A=[lll1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a matriz é invertível. Se for, calcular a inversa dela. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes e determinantes. Vamos precisar calcular o determinante da matriz para saber se ela é invertível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e podemos seguir para encontrar a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A = 1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1 . A matriz dada é:
Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar.

Passo 3

Aplicando a regra de Sarrus, escrevemos a matriz 1 & 1 & 2 & | & 1 & 1 1 & 2 & 1 & | & 1 & 2 2 & 1 & 1 & | & 2 & 1 e repetimos as duas primeiras colunas à direita:
Agora, somamos os produtos das diagonais principais e subtraímos os produtos das diagonais secundárias.

Passo 4

Calculando as diagonais principais:
Somando esses valores:
Calculando as diagonais secundárias:
Somando esses valores:

Passo 5

Agora, subtraímos a soma das diagonais secundárias da soma das diagonais principais:
Portanto, o determinante da matriz é .

Passo 6

Como o determinante de é (que é diferente de zero), isso significa que a matriz é invertível. Agora, vamos calcular a inversa dela.

Passo 7

Para encontrar a inversa de uma matriz 3x3, usamos a seguinte fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A)
Onde é o determinante de e é a matriz adjunta de .

Passo 8

Primeiro, já sabemos que . Agora, precisamos calcular a matriz adjunta, que é a transposta da matriz dos cofatores de .
Vamos calcular os cofatores de cada elemento de .

Passo 9

Calculando os cofatores:
Para cada elemento Cij = (-1)^i+j cdot Mij da matriz , o cofator é dado por:
onde é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz 2x2 que resulta de remover a i-ésima linha e a j-ésima coluna de .

Passo 10

Vamos calcular cada 2 & 1 1 & 1 :
  • 1 & 1 2 & 1
  • 1 & 2 2 & 1
  • 1 & 2 1 & 1
  • 1 & 2 2 & 1
  • 1 & 1 2 & 1
  • 1 & 2 2 & 1
  • 1 & 2 1 & 1
  • 1 & 1 1 & 2

Passo 11

Agora, aplicamos o fator C = (-1)^1+1 cdot 1 & (-1)^1+2 cdot (-1) & (-1)^1+3 cdot (-3) (-1)^2+1 cdot (-1) & (-1)^2+2 cdot (-3) & (-1)^2+3 cdot (-1) (-1)^3+1 cdot (-3) & (-1)^3+2 cdot (-1) & (-1)^3+3 cdot 1 para cada cofator:
C = 1 cdot 1 & -1 cdot (-1) & 1 cdot (-3) -1 cdot (-1) & 1 cdot (-3) & -1 cdot (-1) 1 cdot (-3) & -1 cdot (-1) & 1 cdot 1 = 1 & 1 & -3 1 & -3 & 1 -3 & 1 & 1
Calculando:

Passo 12

A matriz adjunta Adj(A) = C^T = 1 & 1 & -3 1 & -3 & 1 -3 & 1 & 1 ^T = 1 & 1 & -3 1 & -3 & 1 -3 & 1 & 1 é a transposta da matriz de cofatores . Vamos transpor :
No caso desta matriz ser simétrica, a transposta é igual à matriz original.

Passo 13

Agora, usamos a fórmula da inversa:
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) = 1-4 cdot 1 & 1 & -3 1 & -3 & 1 -3 & 1 & 1
Realizando a multiplicação:
A^-1 = 1-4 & 1-4 & -3-4 1-4 & -3-4 & 1-4 -3-4 & 1-4 & 1-4 = -14 & -14 & 34 -14 & 34 & -14 34 & -14 & -14

Resposta

A matriz A^-1 = -14 & -14 & 34 -14 & 34 & -14 34 & -14 & -14 é invertível e sua inversa é:

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