Dadas as retas
e
, obter:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço, dadas por:
e
O conteúdo aqui envolve Geometria Analítica, especificamente o estudo de retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar duas retas: verificar se elas são paralelas, coincidentes, ou se elas se cruzam (interseção).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações das retas em termos paramétricos. Isso facilita na hora de comparar as direções e pontos das retas.
Para a reta
:
Onde
é um parâmetro.
Para a reta
:
Onde
é outro parâmetro.
Passo 3
Agora, vamos comparar os vetores diretores das duas retas. O vetor diretor da reta
é
e o da reta
é
.
Para verificar se as retas são paralelas, vamos ver se os vetores diretores são múltiplos um do outro. Ou seja, se existe um número
tal que
.
Comparando as componentes:
Resolvendo a primeira equação:
Agora, verificando a segunda equação:
, o que não é verdadeiro.
Como não existe um
que satisfaça todas as equações, as retas
e
não são paralelas.
Passo 4
Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se interceptam. Para isso, precisamos encontrar valores de
e
tal que as coordenadas
das duas retas sejam iguais.
Igualando as componentes:
-
\ -
\ -
Vamos resolver essas equações:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Comparando (1) e (2):
Substituindo
em
:
Agora, verificando na terceira equação:
Tudo confere! Portanto, as retas se interceptam.
Resposta
As retas
e
se interceptam no ponto
.
Exercícios relacionados
Mostre que a propriedade de comutatividade para a adição de vetores é redundante, isto é, pode ser provada a partir das outras propriedades. (Sugestão: Desenvolva
de duas maneiras.)
Determine um fator integrante e resolva a equação
.
Demonstre que a equação
pode ser tornada exata e resolva-a.
Reescreva cada vetor
dado na forma
, em que
é o versor de
.