Dadas as retas e , obter:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço, dadas por:
e
O conteúdo aqui envolve Geometria Analítica, especificamente o estudo de retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar duas retas: verificar se elas são paralelas, coincidentes, ou se elas se cruzam (interseção).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das retas em termos paramétricos. Isso facilita na hora de comparar as direções e pontos das retas.
Para a reta :
Onde é um parâmetro.
Para a reta :
Onde é outro parâmetro.

Passo 3

Agora, vamos comparar os vetores diretores das duas retas. O vetor diretor da reta é e o da reta é .
Para verificar se as retas são paralelas, vamos ver se os vetores diretores são múltiplos um do outro. Ou seja, se existe um número tal que .
Comparando as componentes:
Resolvendo a primeira equação:
Agora, verificando a segunda equação: , o que não é verdadeiro.
Como não existe um que satisfaça todas as equações, as retas e não são paralelas.

Passo 4

Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se interceptam. Para isso, precisamos encontrar valores de e tal que as coordenadas das duas retas sejam iguais.
Igualando as componentes:
  1. \
  2. \
Vamos resolver essas equações:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Comparando (1) e (2):
Substituindo em :
Agora, verificando na terceira equação:
Tudo confere! Portanto, as retas se interceptam.

Resposta

As retas e se interceptam no ponto .

Exercícios relacionados

Mostre que a propriedade de comutatividade para a adição de vetores é redundante, isto é, pode ser provada a partir das outras propriedades. (Sugestão: Desenvolva de duas maneiras.)
Determine um fator integrante e resolva a equação .
Demonstre que a equação pode ser tornada exata e resolva-a.
Reescreva cada vetor dado na forma , em que é o versor de .