Dadas as retas r: x-11=y-2-1=z+32 e s: x-14=y-22=z+31, obter:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço, dadas por:
r: x-11 = y-2-1 = z+32
e
s: x-14 = y-22 = z+31
O conteúdo aqui envolve Geometria Analítica, especificamente o estudo de retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar duas retas: verificar se elas são paralelas, coincidentes, ou se elas se cruzam (interseção).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das retas em termos paramétricos. Isso facilita na hora de comparar as direções e pontos das retas.
Para a reta x = 1 + 1t y = 2 - 1t z = -3 + 2t :
x = 1 + 4k y = 2 + 2k z = -3 + 1k
Onde é um parâmetro.
Para a reta :
Onde é outro parâmetro.

Passo 3

Agora, vamos comparar os vetores diretores das duas retas. O vetor diretor da reta 1 = 4lambda -1 = 2lambda 2 = 1lambda é e o da reta é .
Para verificar se as retas são paralelas, vamos ver se os vetores diretores são múltiplos um do outro. Ou seja, se existe um número tal que .
Comparando as componentes:
Resolvendo a primeira equação:
Agora, verificando a segunda equação: , o que não é verdadeiro.
Como não existe um que satisfaça todas as equações, as retas e não são paralelas.

Passo 4

Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se interceptam. Para isso, precisamos encontrar valores de 1 + t = 1 + 4k t = 4k (1) e 2 - t = 2 + 2k -t = 2k t = -2k (2) tal que as coordenadas 4k = -2k 6k = 0 k = 0 das duas retas sejam iguais.
Igualando as componentes:
  1. t = 0 \
  2. -3 + 2(0) = -3 + 0 -3 = -3 \
Vamos resolver essas equações:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Comparando (1) e (2):
Substituindo em :
Agora, verificando na terceira equação:
Tudo confere! Portanto, as retas se interceptam.

Resposta

As retas e se interceptam no ponto .

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