Mostre que a propriedade de comutatividade para a adição de vetores é redundante, isto é, pode ser provada a partir das outras propriedades. (Sugestão: Desenvolva (1+1)(u+v) de duas maneiras.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a propriedade de comutatividade na adição de vetores é algo que já está implícito nas outras propriedades que definem um espaço vetorial. Ou seja, não precisamos assumir que a soma de dois vetores é comutativa desde o começo, porque isso pode ser comprovado usando outras regras básicas da matemática vetorial. Para resolver isso, vamos usar a dica do enunciado: desenvolver de duas maneiras diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de algumas propriedades importantes que vamos precisar:
  1. Distributividade da multiplicação sobre a adição: .
  2. Associatividade da multiplicação escalar: .
  3. Existência do elemento neutro: Existe um vetor zero tal que .
Essas propriedades fazem parte das regras que definem um espaço vetorial.

Passo 3

Agora, vamos desenvolver (1 + 1)(u + v) = 1(u + v) + 1(u + v) de duas maneiras diferentes usando a distributividade e a associatividade.
Primeira maneira: Distribuindo o = u + v + u + v = 2u + 2v sobre a soma dos vetores
(1 + 1)(u + v) = 2(u + v) = 2u + 2v
Usando a distributividade novamente:
2(u + v) = u + u + v + v
Segunda maneira: Distribuindo cada termo dentro dos parênteses
Primeiro, aplicamos a distributividade na soma dentro dos parênteses:
Mas também podemos distribuir o de outra forma:

Passo 4

Comparando os resultados das duas maneiras diferentes que desenvolvemos 2u + 2v = u + u + v + v , temos:
u + v = v + u
Simplificando, percebemos que:
Isso mostra que a adição de vetores é comutativa, ou seja, podemos trocar a ordem dos vetores na soma sem alterar o resultado.

Resposta

A propriedade de comutatividade na adição de vetores pode ser comprovada a partir de outras propriedades do espaço vetorial, demonstrando que .

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