Mostre que a propriedade de comutatividade para a adição de vetores é redundante, isto é, pode ser provada a partir das outras propriedades. (Sugestão: Desenvolva
de duas maneiras.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a propriedade de comutatividade na adição de vetores é algo que já está implícito nas outras propriedades que definem um espaço vetorial. Ou seja, não precisamos assumir que a soma de dois vetores é comutativa desde o começo, porque isso pode ser comprovado usando outras regras básicas da matemática vetorial. Para resolver isso, vamos usar a dica do enunciado: desenvolver
de duas maneiras diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de algumas propriedades importantes que vamos precisar:
- Distributividade da multiplicação sobre a adição:
. - Associatividade da multiplicação escalar:
. - Existência do elemento neutro: Existe um vetor zero
tal que .
Essas propriedades fazem parte das regras que definem um espaço vetorial.
Passo 3
Agora, vamos desenvolver
de duas maneiras diferentes usando a distributividade e a associatividade.
Primeira maneira: Distribuindo o
sobre a soma dos vetores
Usando a distributividade novamente:
Segunda maneira: Distribuindo cada termo dentro dos parênteses
Primeiro, aplicamos a distributividade na soma dentro dos parênteses:
Mas também podemos distribuir o
de outra forma:
Passo 4
Comparando os resultados das duas maneiras diferentes que desenvolvemos
, temos:
Simplificando, percebemos que:
Isso mostra que a adição de vetores é comutativa, ou seja, podemos trocar a ordem dos vetores na soma sem alterar o resultado.
Resposta
A propriedade de comutatividade na adição de vetores pode ser comprovada a partir de outras propriedades do espaço vetorial, demonstrando que
.
Exercícios relacionados
Determine um fator integrante e resolva a equação
.
Determine o escalar
para que o vetor
seja unitário.
Dadas as retas
e
, obter:
Demonstre que a equação
pode ser tornada exata e resolva-a.