Demonstre que a equação
pode ser tornada exata e resolva-a.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial
. Nosso objetivo é mostrar que essa equação pode ser transformada em uma equação exata e, depois, resolvê-la. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como encontrar um fator integrante que a torne exata.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que é uma equação exata. Uma equação diferencial na forma
é exata se existe uma função
tal que
. Isso significa que as derivadas parciais de
em relação a
e
satisfazem:
Então, vamos identificar
e
na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais para verificar se a equação é exata:
Como
, a equação já é exata! Isso significa que podemos encontrar uma função
que nos ajudará a resolver a equação.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função
. Para isso, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
, já que ao integrar em relação a
, a constante de integração pode ser uma função de
.
Passo 4
Em seguida, vamos derivar
em relação a
e igualar a
para encontrar
:
Assim:
Integrando
em relação a
:
Como estamos procurando por uma solução geral, podemos ignorar a constante
.
Passo 5
Portanto, a função
completa é:
A solução da equação diferencial é dada por
. Assim, temos:
Resposta
A solução da equação diferencial é
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Dadas as retas
e
, obter:
Mostre que a propriedade de comutatividade para a adição de vetores é redundante, isto é, pode ser provada a partir das outras propriedades. (Sugestão: Desenvolva
de duas maneiras.)
Reescreva cada vetor
dado na forma
, em que
é o versor de
.
Determine a solução da equação de Riccati
.