Demonstre que a equação pode ser tornada exata e resolva-a.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial . Nosso objetivo é mostrar que essa equação pode ser transformada em uma equação exata e, depois, resolvê-la. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como encontrar um fator integrante que a torne exata.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que é uma equação exata. Uma equação diferencial na forma é exata se existe uma função tal que . Isso significa que as derivadas parciais de em relação a e satisfazem:
Então, vamos identificar e na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais para verificar se a equação é exata:
Como , a equação já é exata! Isso significa que podemos encontrar uma função que nos ajudará a resolver a equação.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função . Para isso, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de , já que ao integrar em relação a , a constante de integração pode ser uma função de .

Passo 4

Em seguida, vamos derivar em relação a e igualar a para encontrar :
Assim:
Integrando em relação a :
Como estamos procurando por uma solução geral, podemos ignorar a constante .

Passo 5

Portanto, a função completa é:
A solução da equação diferencial é dada por . Assim, temos:

Resposta

A solução da equação diferencial é , onde é uma constante.

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Dadas as retas e , obter:
Mostre que a propriedade de comutatividade para a adição de vetores é redundante, isto é, pode ser provada a partir das outras propriedades. (Sugestão: Desenvolva de duas maneiras.)
Reescreva cada vetor dado na forma , em que é o versor de .
Determine a solução da equação de Riccati .