Demonstre que a equação (y-e^x) d x+(x+y^2) d y=0 pode ser tornada exata e resolva-a.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial . Nosso objetivo é mostrar que essa equação pode ser transformada em uma equação exata e, depois, resolvê-la. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como encontrar um fator integrante que a torne exata.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que é uma equação exata. Uma equação diferencial na forma Fx = M e Fy = N é exata se existe uma função M = y - e^x e N = x + y^2 tal que partial Mpartial y = 1 e partial Npartial x = 1 . Isso significa que as derivadas parciais de em relação a e satisfazem:
Então, vamos identificar e na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais para verificar se a equação é exata:
Como , a equação já é exata! Isso significa que podemos encontrar uma função que nos ajudará a resolver a equação.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função F(x,y) = integral M , dx = integral (y - e^x) , dx = yx - e^x + g(y) . Para isso, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de , já que ao integrar em relação a , a constante de integração pode ser uma função de .

Passo 4

Em seguida, vamos derivar Fy = partial Fpartial y = x + g'(y) = N = x + y^2 em relação a x + g'(y) = x + y^2 implies g'(y) = y^2 e igualar a g(y) = integral y^2 , dy = y^33 + C para encontrar :
Assim:
Integrando em relação a :
Como estamos procurando por uma solução geral, podemos ignorar a constante .

Passo 5

Portanto, a função F(x,y) = yx - e^x + y^33 completa é:
yx - e^x + y^33 = C
A solução da equação diferencial é dada por . Assim, temos:

Resposta

A solução da equação diferencial é , onde é uma constante.

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