Dadas as seguintes coordenadas e cargas parciais de uma molécula de NH3 encontre
(i) o campo elétrico no ponto r=(0,0,1) AA;
(ii) o momento de dipolo da molécula;
(iii) Assumindo que esse forma um dipolo pontual na origem e determine o campo elétrico no ponto r. Compare esse resultado com aquele obtido em (i).
átomo x(AA) y(AA) z(AA) q(e)
N 0.0000 0.0000 0.0000 -0.8022
H 0.0000 -0.9377 -0.3816 +0.2674
H 0.8121 0.4689 -0.3816 +0.2674
H -0.8121 0.4689 -0.3816 +0.2674

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a molécula de NH3. A gente precisa calcular três coisas:
  1. O campo elétrico no ponto r = (0, 0, 1) AA.
  2. O momento de dipolo da molécula.
  3. O campo elétrico no mesmo ponto, mas agora considerando a molécula como um dipolo pontual na origem, e depois comparar com o primeiro resultado.
Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como campo elétrico e momento de dipolo, e usar as posições e cargas dos átomos fornecidas na tabela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o campo elétrico. É uma região ao redor de uma carga onde outra carga sente uma força. A fórmula para calcular o campo elétrico E devido a uma carga pontual q é:
E = 14pivarepsilon0 cdot q|r - rq|^3 (r - rq)
Onde:
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo.
  • r é o ponto onde queremos calcular o campo.
  • rq é a posição da carga q.

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico total no ponto r = (0, 0, 1) AA somando os campos elétricos de cada átomo na molécula.
Primeiro, vamos converter as posições para vetores:
  • Nitrogênio (N): rN = (0, 0, 0)
  • Hidrogênio 1 (H1): rH1 = (0, -0.9377, -0.3816)
  • Hidrogênio 2 (H2): rH2 = (0.8121, 0.4689, -0.3816)
  • Hidrogênio 3 (H3): rH3 = (-0.8121, 0.4689, -0.3816)
E as cargas são:
  • qN = -0.8022 , e
  • qH1 = qH2 = qH3 = +0.2674 , e

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico de cada átomo no ponto r = (0, 0, 1).
Primeiro, a constante 14pivarepsilon0 approx 8.988 times 10^9 , N·m²/C²²².
Mas para simplificar, vamos trabalhar em unidades de Ångströms e cargas elementares.
Para cada átomo, calculamos:
Ei = qi|r - ri|^3 (r - ri)
Vamos fazer isso para N, H1, H2 e H3.

Passo 5

Começando com o átomo de Nitrogênio (N):
rN = (0, 0, 0)
r - rN = (0, 0, 1) - (0, 0, 0) = (0, 0, 1)
A distância |r - rN| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = 1 , AA
Então,
EN = -0.80221^3 (0, 0, 1) = (0, 0, -0.8022)

Passo 6

Agora, para Hidrogênio 1 (H1):
rH1 = (0, -0.9377, -0.3816)
r - rH1 = (0, 0, 1) - (0, -0.9377, -0.3816) = (0, 0.9377, 1.3816)
A distância |r - rH1| = raiz0^2 + 0.9377^2 + 1.3816^2 approx 1.694 , AA
Então,
EH1 = 0.2674(1.694)^3 (0, 0.9377, 1.3816) approx (0, 0.2674 times 0.9377 / 4.87, 0.2674 times 1.3816 / 4.87)
Calculando:
EH1 approx (0, 0.2674 times 0.192, 0.2674 times 0.283) approx (0, 0.0514, 0.0756)

Passo 7

Para Hidrogênio 2 (H2):
rH2 = (0.8121, 0.4689, -0.3816)
r - rH2 = (0, 0, 1) - (0.8121, 0.4689, -0.3816) = (-0.8121, -0.4689, 1.3816)
A distância |r - rH2| = raiz(-0.8121)^2 + (-0.4689)^2 + (1.3816)^2 approx 1.694 , AA
Então,
EH2 = 0.2674(1.694)^3 (-0.8121, -0.4689, 1.3816) approx (-0.0514, -0.0514, 0.0756)

Passo 8

Para Hidrogênio 3 (H3):
rH3 = (-0.8121, 0.4689, -0.3816)
r - rH3 = (0, 0, 1) - (-0.8121, 0.4689, -0.3816) = (0.8121, -0.4689, 1.3816)
A distância |r - rH3| = raiz(0.8121)^2 + (-0.4689)^2 + (1.3816)^2 approx 1.694 , AA
Então,
EH3 = 0.2674(1.694)^3 (0.8121, -0.4689, 1.3816) approx (0.0514, -0.0514, 0.0756)

Passo 9

Agora, vamos somar todos os campos elétricos para obter o campo total no ponto r:
Etotal = EN + EH1 + EH2 + EH3
Substituindo:
Etotal = (0, 0, -0.8022) + (0, 0.0514, 0.0756) + (-0.0514, -0.0514, 0.0756) + (0.0514, -0.0514, 0.0756)
Simplificando:
  • Na direção x: 0 - 0.0514 + 0.0514 = 0
  • Na direção y: 0 + 0.0514 - 0.0514 - 0.0514 = -0.0514
  • Na direção z: -0.8022 + 0.0756 + 0.0756 + 0.0756 approx -0.8022 + 0.2268 = -0.5754
Então,
Etotal approx (0, -0.0514, -0.5754) , eV/Å Å

Passo 10

Agora, vamos calcular o momento de dipolo da molécula. O momento de dipolo elétrico p é dado por:
p = sumi qi ri
Onde qi é a carga de cada átomo e ri é sua posição.

Passo 11

Calculando cada contribuição:
  • Nitrogênio: qN rN = -0.8022 times (0, 0, 0) = (0, 0, 0)
  • Hidrogênio 1: qH1 rH1 = 0.2674 times (0, -0.9377, -0.3816) = (0, -0.251, -0.102)
  • Hidrogênio 2: qH2 rH2 = 0.2674 times (0.8121, 0.4689, -0.3816) = (0.217, 0.125, -0.102)
  • Hidrogênio 3: qH3 rH3 = 0.2674 times (-0.8121, 0.4689, -0.3816) = (-0.217, 0.125, -0.102)
Somando todas:
p = (0 + 0 + -0.217 + 0.217, 0 -0.251 + 0.125 + 0.125, 0 -0.102 -0.102 -0.102) = (0, -0.001, -0.306)
Então,
p approx (0, 0, -0.306) , e cdot AA

Passo 12

Agora, no terceiro item, vamos considerar a molécula como um dipolo pontual na origem. O campo elétrico de um dipolo é dado por:
E = 14pivarepsilon0 ( 3(p cdot r)r - p|r|^3 )
Onde r é o vetor unitário na direção de r.

Passo 13

Para o ponto r = (0, 0, 1) AA, temos r = (0, 0, 1) e |r| = 1 , AA.
Calculando p cdot r = (0, 0, -0.306) cdot (0, 0, 1) = -0.306
Então,
E = 14pivarepsilon0 ( 3(-0.306)(0, 0, 1) - (0, 0, -0.306)1^3 ) = 14pivarepsilon0 (0, 0, -0.918 + 0.306) = 14pivarepsilon0 (0, 0, -0.612)

Passo 14

Comparando com o resultado do primeiro item, onde:
Etotal approx (0, -0.0514, -0.5754)
Percebe-se que os valores na direção z são bem próximos, indicando que a aproximação como dipolo pontual na origem é válida para esse ponto.

Resposta

(i) O campo elétrico no ponto r = (0, 0, 1) AA é aproximadamente E = (0, -0.0514, -0.5754) , eV/ÅÅ;
(ii) O momento de dipolo da molécula é p approx (0, 0, -0.306) , e cdot AA;
(iii) Considerando a molécula como um dipolo pontual na origem, o campo elétrico no ponto r é semelhante ao resultado de (i), confirmando a validade da aproximação.

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