Determine se a série converge ou diverge. (teste de comparação)
sum 2+(-1)^nn raizn

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa fazer: Temos que descobrir se a série
sum 2 + (-1)^nn raizn
converge ou diverge usando o teste de comparação. Para isso, vamos precisar entender como funciona o teste de comparação e escolher uma série que a gente já saiba se ela converge ou não para fazer a comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
an = 2 + (-1)^nn raizn
Aqui, o (-1)^n faz com que o numerador oscile entre 2 + 1 = 3 (quando n é par) e 2 - 1 = 1 (quando n é ímpar). Então, podemos dizer que:
1 <= 2 + (-1)^n <= 3

Passo 3

Dividindo todos os termos por n raizn, ficamos com:
1n raizn <= 2 + (-1)^nn raizn <= 3n raizn
Simplificando, isso dá:
1n^3/2 <= an <= 3n^3/2

Passo 4

Agora, vamos pensar em uma série para comparar. Vamos usar a série
sum 1n^3/2,
que é uma série do tipo p, onde p = 32. Sabemos que uma série p converge se p > 1, e é o caso aqui porque 32 > 1.

Passo 5

Como cada termo da nossa série original an é menor ou igual a três vezes os termos da série sum 1n^3/2 que já sabemos que converge, pelo teste de comparação, podemos concluir que a nossa série original também converge.

Resposta

A série
sum 2 + (-1)^nn raizn
converge.

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