Determine se a série converge ou diverge. (teste de comparação)
Passo 1
Vamos resumir o que a gente precisa fazer: Temos que descobrir se a série
converge ou diverge usando o teste de comparação. Para isso, vamos precisar entender como funciona o teste de comparação e escolher uma série que a gente já saiba se ela converge ou não para fazer a comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
Aqui, o
faz com que o numerador oscile entre
(quando
é par) e
(quando
é ímpar). Então, podemos dizer que:
Passo 3
Dividindo todos os termos por
, ficamos com:
Simplificando, isso dá:
Passo 4
Agora, vamos pensar em uma série para comparar. Vamos usar a série
que é uma série do tipo p, onde
. Sabemos que uma série p converge se
, e é o caso aqui porque
.
Passo 5
Como cada termo da nossa série original
é menor ou igual a três vezes os termos da série
que já sabemos que converge, pelo teste de comparação, podemos concluir que a nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.