Descreva a trajetória de um ponto móvel
, cujo deslocamento é expresso por:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descrever a trajetória de um ponto móvel
cuja posição em função do tempo
é dada por , para
. Aqui, estamos lidando com vetores posição no plano, que é um assunto da cinemática dentro da física. Para resolver isso, vamos analisar a função vetorial e entender como ela descreve o movimento do ponto
ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada componente da função vetorial representa. A função descreve a posição do ponto
em termos das coordenadas
e
no plano cartesiano, onde:
-
é a coordenada na direção do eixo . - é a coordenada na direção do eixo
.
Essas funções nos dizem onde o ponto
está em qualquer instante de tempo
.
Passo 3
Para descrever a trajetória, queremos uma relação entre
e
que não envolva o tempo
. Então, vamos tentar eliminar
dessas equações.
Temos:
Uma maneira de eliminar
é dividir as duas equações:
Então, temos:
Passo 4
Agora, queremos expressar
em termos de
e
. Sabemos que:
Mas isso não resolve o problema de eliminar
. Outra abordagem é considerar a relação entre
e
diretamente. Vamos usar o fato de que:
Então:
Passo 5
Agora que temos
em termos de
e
, podemos substituir de volta nas equações para encontrar uma relação entre
e
. Porém, isso nos leva a uma equação implícita que pode não ser fácil de resolver diretamente para
em termos de
ou vice-versa.
Isso sugere que a trajetória do ponto
não é uma curva simples como uma reta ou um círculo, mas sim uma espiral crescente, já que
aumenta e a distância
também aumenta com o tempo.
Resposta
A trajetória do ponto
é uma espiral que se afasta do ponto de origem conforme o tempo aumenta. Isso ocorre porque, à medida que
cresce, a distância do ponto
até a origem
também aumenta, e o ângulo
faz com que o ponto
dê voltas ao redor da origem, formando uma espiral.
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Definir o que significa uma sequencia ser limitada.
Dadas as sequencias limitadas
e
, provar que a sequência
é também limitada
Calcule
onde
é a região limitada pelos círculos
e
, onde
e
tem orientação compativel.
Inverter a ordem de integração.