Descreva a trajetória de um ponto móvel , cujo deslocamento é expresso por: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descrever a trajetória de um ponto móvel cuja posição em função do tempo é dada por , para . Aqui, estamos lidando com vetores posição no plano, que é um assunto da cinemática dentro da física. Para resolver isso, vamos analisar a função vetorial e entender como ela descreve o movimento do ponto ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada componente da função vetorial representa. A função descreve a posição do ponto em termos das coordenadas e no plano cartesiano, onde:
  • é a coordenada na direção do eixo .
  • é a coordenada na direção do eixo .
Essas funções nos dizem onde o ponto está em qualquer instante de tempo .

Passo 3

Para descrever a trajetória, queremos uma relação entre e que não envolva o tempo . Então, vamos tentar eliminar dessas equações.
Temos:
Uma maneira de eliminar é dividir as duas equações:
Então, temos:

Passo 4

Agora, queremos expressar em termos de e . Sabemos que:
Mas isso não resolve o problema de eliminar . Outra abordagem é considerar a relação entre e diretamente. Vamos usar o fato de que:
Então:

Passo 5

Agora que temos em termos de e , podemos substituir de volta nas equações para encontrar uma relação entre e . Porém, isso nos leva a uma equação implícita que pode não ser fácil de resolver diretamente para em termos de ou vice-versa.
Isso sugere que a trajetória do ponto não é uma curva simples como uma reta ou um círculo, mas sim uma espiral crescente, já que aumenta e a distância também aumenta com o tempo.

Resposta

A trajetória do ponto é uma espiral que se afasta do ponto de origem conforme o tempo aumenta. Isso ocorre porque, à medida que cresce, a distância do ponto até a origem também aumenta, e o ângulo faz com que o ponto dê voltas ao redor da origem, formando uma espiral.

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