Dadas as superfícies S1: x^2+y^2+z^2=R1^2, S2: x^2+y^2+z=R^2, z >= 0 e S3: x^2+y^2=R^2, |z| <= H, determine o fluxo através delas produzidos pelos seguintes campos vetoriais:
A=rho rho
Para esses mesmos campos acima, determine os seus divergentes e seus respectivos o fluxos através do volume delimitados pelas superfícies dadas. Você deve encontrar os mesmos resultados!

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo vetorial onde precisamos calcular o fluxo de um campo vetorial específico através de três superfícies diferentes. O campo vetorial dado é , que está em coordenadas cilíndricas. As superfícies são:
  • (uma esfera),
  • (um paraboloide),
  • (um cilindro).
Além disso, precisamos determinar o divergente do campo e calcular o fluxo através do volume delimitado por essas superfícies, confirmando que os resultados dos fluxos diretamente através das superfícies e aqueles obtidos usando o divergente são iguais. Vamos precisar utilizar conceitos de cálculo vetorial como fluxo, divergente e o teorema da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é flux e como calcular. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é basicamente a quantidade de “campo” que atravessa essa superfície. Matematicamente, isso é representado pela integral de superfície:
Phi = integral duplaS A cdot n , dS
onde n = r|r| é o vetor normal à superfície.
Para calcular isso, precisamos parametrizar cada superfície e encontrar o vetor normal correspondente. Vamos começar com a superfície A = raizx^2 + y^2 ( xraizx^2 + y^2 i + yraizx^2 + y^2 j ) = x i + y j , a esfera de raio A cdot n = x^2 + y^2R1 .
Superfície :
Para uma esfera, o vetor normal aponta radialmente para fora e é dado por:
onde .
Como e em coordenadas cartesianas , podemos reescrever o campo em termos de e :
Agora, calculamos o produto escalar :
Multiplicando por , que para a esfera é , e integrando sobre toda a superfície, obtemos o fluxo através de .
Superfície e :
Aplicamos um processo similar para as outras superfícies, encontrando os vetores normais e calculando o produto escalar para cada uma. Depois, integramos sobre as respectivas superfícies para encontrar os fluxos.

Passo 3

Agora, vamos determinar o divergente do campo nabla cdot A = 1rho partial (rho Arho)partial rho + 1rho partial Aphipartial phi + partial Azpartial z . O divergente de um campo vetorial em coordenadas cilíndricas é dado por:
Arho = rho, Aphi = 0, Az = 0
No nosso caso, nabla cdot A = 1rho partial (rho cdot rho)partial rho + 0 + 0 = 1rho cdot 2rho = 2 , então:
Substituindo na fórmula do divergente:
Portanto, o divergente do campo é constante e igual a 2.

Passo 4

Com o divergente calculado, podemos usar o teorema da divergência para encontrar o fluxo através do volume delimitado pelas superfícies integral duplaS A cdot n , dS = integral triplaV (nabla cdot A) , dV , integral triplaV 2 , dV = 2 cdot Volume do V e . O teorema diz que:
Como , a integral de volume simplifica para:
Precisamos, portanto, calcular o volume limitado pelas superfícies dadas. Dependendo das relações entre , e , o volume pode variar, mas a integral será múltiplo de 2 vezes esse volume.

Passo 5

Agora, com os fluxos calculados diretamente através das superfícies e o fluxo obtido pelo teorema da divergência, devemos verificar se ambos são iguais, como esperado pelo teorema. Essa igualdade confirma a consistência dos cálculos e a aplicação correta do teorema.

Resposta

Após calcular os fluxos diretamente através das superfícies , e e aplicar o teorema da divergência utilizando o divergente , verificamos que os resultados dos fluxos são iguais, confirmando a validade do teorema para este campo vetorial e as superfícies consideradas.

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