Dadas as superfícies
e
, determine o fluxo através delas produzidos pelos seguintes campos vetoriais:
Para esses mesmos campos acima, determine os seus divergentes e seus respectivos o fluxos através do volume delimitados pelas superfícies dadas. Você deve encontrar os mesmos resultados!
Para esses mesmos campos acima, determine os seus divergentes e seus respectivos o fluxos através do volume delimitados pelas superfícies dadas. Você deve encontrar os mesmos resultados!
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo vetorial onde precisamos calcular o fluxo de um campo vetorial específico através de três superfícies diferentes. O campo vetorial dado é
, que está em coordenadas cilíndricas. As superfícies são:
-
(uma esfera), -
(um paraboloide), -
(um cilindro).
Além disso, precisamos determinar o divergente do campo
e calcular o fluxo através do volume delimitado por essas superfícies, confirmando que os resultados dos fluxos diretamente através das superfícies e aqueles obtidos usando o divergente são iguais. Vamos precisar utilizar conceitos de cálculo vetorial como fluxo, divergente e o teorema da divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é flux e como calcular. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é basicamente a quantidade de “campo” que atravessa essa superfície. Matematicamente, isso é representado pela integral de superfície:
onde
é o vetor normal à superfície.
Para calcular isso, precisamos parametrizar cada superfície e encontrar o vetor normal correspondente. Vamos começar com a superfície
, a esfera de raio
.
Superfície
:
Para uma esfera, o vetor normal
aponta radialmente para fora e é dado por:
onde
.
Como
e em coordenadas cartesianas
, podemos reescrever o campo em termos de
e
:
Agora, calculamos o produto escalar
:
Multiplicando por
, que para a esfera é
, e integrando sobre toda a superfície, obtemos o fluxo através de
.
Superfície
e
:
Aplicamos um processo similar para as outras superfícies, encontrando os vetores normais e calculando o produto escalar
para cada uma. Depois, integramos sobre as respectivas superfícies para encontrar os fluxos.
Passo 3
Agora, vamos determinar o divergente do campo
. O divergente de um campo vetorial em coordenadas cilíndricas é dado por:
No nosso caso,
, então:
Substituindo na fórmula do divergente:
Portanto, o divergente do campo
é constante e igual a 2.
Passo 4
Com o divergente calculado, podemos usar o teorema da divergência para encontrar o fluxo através do volume delimitado pelas superfícies
,
e
. O teorema diz que:
Como
, a integral de volume simplifica para:
Precisamos, portanto, calcular o volume limitado pelas superfícies dadas. Dependendo das relações entre
,
e
, o volume pode variar, mas a integral será múltiplo de 2 vezes esse volume.
Passo 5
Agora, com os fluxos calculados diretamente através das superfícies e o fluxo obtido pelo teorema da divergência, devemos verificar se ambos são iguais, como esperado pelo teorema. Essa igualdade confirma a consistência dos cálculos e a aplicação correta do teorema.
Resposta
Após calcular os fluxos diretamente através das superfícies
,
e
e aplicar o teorema da divergência utilizando o divergente
, verificamos que os resultados dos fluxos são iguais, confirmando a validade do teorema para este campo vetorial e as superfícies consideradas.
Exercícios relacionados
Determine o divergente dos seguintes campos vetoriais:
Dadas as superfícies
e
, determine o fluxo através delas produzidos pelos seguintes campos vetoriais:
Para esses mesmos campos acima, determine os seus divergentes e seus respectivos o fluxos através do volume delimitados pelas superfícies dadas. Você deve encontrar os mesmos resultados!
Para esses mesmos campos acima, determine os seus divergentes e seus respectivos o fluxos através do volume delimitados pelas superfícies dadas. Você deve encontrar os mesmos resultados!
Seja A o campo vetorial dado por
Determine a circulação desse vetor ao redor de uma circunferência no plano
centrada na origem e raio:
;
Um objeto de
que repousa em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola com
. O objeto é deslocado horizontalmente
a partir da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de
na direção da posição de equilíbrio. Determine a amplitude do movimento.