Determine o divergente dos seguintes campos vetoriais:
A=1+rho+rho^2rho^2 rho

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para determinar o divergente de um campo vetorial específico:
A = 1 + rho + rho^2rho^2 rho
Aqui, estamos lidando com Cálculo Vetorial, mais precisamente com o conceito de divergente em coordenadas cilíndricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o divergente em coordenadas cilíndricas e aplicar as fórmulas adequadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o divergente. O divergente de um campo vetorial mede a “taxa de expansão” ou “contração” do campo em cada ponto. Em coordenadas cilíndricas nabla cdot A = 1rho partial (rho Arho)partial rho + 1rho partial Aphipartial phi + partial Azpartial z , o divergente de um campo vetorial nabla cdot A = 1rho partial (rho Arho)partial rho é dado por:
No nosso caso, o campo vetorial tem apenas a componente radial , ou seja, e . Portanto, a fórmula do divergente simplifica para:

Passo 3

Vamos identificar Arho = 1 + rho + rho^2rho^2 no nosso campo vetorial:
Arho = 1rho^2 + 1rho + 1
Simplificando essa expressão:

Passo 4

Agora, calculamos rho Arho = rho ( 1rho^2 + 1rho + 1 ) = rhorho^2 + rhorho + rho = 1rho + 1 + rho :

Passo 5

Em seguida, vamos derivar partial (rho Arho)partial rho = partialpartial rho ( 1rho + 1 + rho ) = -1rho^2 + 0 + 1 = 1 - 1rho^2 em relação a :

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula do divergente que simplificamos:
nabla cdot A = 1rho ( 1 - 1rho^2 ) = 1rho - 1rho^3

Resposta

O divergente do campo vetorial nabla cdot A = 1rho - 1rho^3 é:

Exercícios relacionados