Determine o divergente dos seguintes campos vetoriais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para determinar o divergente de um campo vetorial específico:
Aqui, estamos lidando com Cálculo Vetorial, mais precisamente com o conceito de divergente em coordenadas cilíndricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o divergente em coordenadas cilíndricas e aplicar as fórmulas adequadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o divergente. O divergente de um campo vetorial mede a “taxa de expansão” ou “contração” do campo em cada ponto. Em coordenadas cilíndricas , o divergente de um campo vetorial é dado por:
No nosso caso, o campo vetorial tem apenas a componente radial , ou seja, e . Portanto, a fórmula do divergente simplifica para:

Passo 3

Vamos identificar no nosso campo vetorial:
Simplificando essa expressão:

Passo 4

Agora, calculamos :

Passo 5

Em seguida, vamos derivar em relação a :

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula do divergente que simplificamos:

Resposta

O divergente do campo vetorial é:

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Dadas as superfícies e , determine o fluxo através delas produzidos pelos seguintes campos vetoriais:

Para esses mesmos campos acima, determine os seus divergentes e seus respectivos o fluxos através do volume delimitados pelas superfícies dadas. Você deve encontrar os mesmos resultados!
Dados os vetores
determine:
. São iguais?
Dadas as superfícies e , determine o fluxo através delas produzidos pelos seguintes campos vetoriais:

Para esses mesmos campos acima, determine os seus divergentes e seus respectivos o fluxos através do volume delimitados pelas superfícies dadas. Você deve encontrar os mesmos resultados!
Seja A o campo vetorial dado por
Determine a circulação desse vetor ao redor de uma circunferência no plano centrada na origem e raio: ;