Um objeto de 5,00 kg que repousa em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola com k=1000 N / m. O objeto é deslocado horizontalmente 50,0 cm a partir da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de 10,0 m / s na direção da posição de equilíbrio. Determine a amplitude do movimento.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de movimento harmônico simples, que envolve uma mola e um objeto. No caso, temos um objeto de 5,00 kg preso a uma mola com constante elástica k = 1000 N/m. Esse objeto foi puxado 50,0 cm da posição de equilíbrio e depois recebeu uma velocidade inicial de 10,0 m/s na direção do equilíbrio. A tarefa é descobrir qual é a amplitude desse movimento.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a amplitude do movimento é a maior distância que o objeto vai atingir a partir da posição de equilíbrio. Para encontrar isso, vamos usar a conservação da energia mecânica. A energia total no sistema é a soma da energia potencial da mola e da energia cinética do objeto.

Passo 3

A energia potencial armazenada na mola quando ela está comprimida ou esticada é dada pela fórmula:
Ep = 12 k x^2
onde k é a constante da mola e x é a deformação da mola.

Passo 4

A energia cinética do objeto em movimento é dada por:
Ec = 12 m v^2
onde m é a massa do objeto e v é a velocidade.

Passo 5

No ponto inicial, o objeto tem tanto energia potencial quanto cinética. Ao atingir a amplitude máxima, toda a energia será potencial, porque a velocidade será zero. Então, podemos igualar a energia total inicial com a energia potencial na amplitude:
12 k A^2 = 12 k x0^2 + 12 m v0^2
onde A é a amplitude que queremos encontrar, x₀ é a deformação inicial (0,50 m) e v₀ é a velocidade inicial (10,0 m/s).

Passo 6

Vamos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por 2:
k A^2 = k x0^2 + m v0^2
Agora, isolamos :
A^2 = x0^2 + m v0^2k

Passo 7

Substituímos os valores conhecidos na equação:
A^2 = (0,50)^2 + 5,00 times (10,0)^21000
A^2 = 0,25 + 5,00 times 1001000
A^2 = 0,25 + 0,5
A^2 = 0,75

Resposta

A amplitude do movimento é:
A = raiz0,75 approx 0,866 , m , ou , 86,6 , cm

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