Um objeto de
que repousa em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola com
. O objeto é deslocado horizontalmente
a partir da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de
na direção da posição de equilíbrio. Determine a amplitude do movimento.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício de movimento harmônico simples, que envolve uma mola e um objeto. No caso, temos um objeto de 5,00 kg preso a uma mola com constante elástica k = 1000 N/m. Esse objeto foi puxado 50,0 cm da posição de equilíbrio e depois recebeu uma velocidade inicial de 10,0 m/s na direção do equilíbrio. A tarefa é descobrir qual é a amplitude desse movimento.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a amplitude do movimento é a maior distância que o objeto vai atingir a partir da posição de equilíbrio. Para encontrar isso, vamos usar a conservação da energia mecânica. A energia total no sistema é a soma da energia potencial da mola e da energia cinética do objeto.
Passo 3
A energia potencial armazenada na mola quando ela está comprimida ou esticada é dada pela fórmula:
onde k é a constante da mola e x é a deformação da mola.
Passo 4
A energia cinética do objeto em movimento é dada por:
onde m é a massa do objeto e v é a velocidade.
Passo 5
No ponto inicial, o objeto tem tanto energia potencial quanto cinética. Ao atingir a amplitude máxima, toda a energia será potencial, porque a velocidade será zero. Então, podemos igualar a energia total inicial com a energia potencial na amplitude:
onde A é a amplitude que queremos encontrar, x₀ é a deformação inicial (0,50 m) e v₀ é a velocidade inicial (10,0 m/s).
Passo 6
Vamos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por 2:
Agora, isolamos A²:
Passo 7
Substituímos os valores conhecidos na equação:
Resposta
A amplitude do movimento é:
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Seja A o campo vetorial dado por
Determine a circulação desse vetor ao redor de uma circunferência no plano
centrada na origem e raio:
;
Dadas as superfícies
e
, determine o fluxo através delas produzidos pelos seguintes campos vetoriais:
Para esses mesmos campos acima, determine os seus divergentes e seus respectivos o fluxos através do volume delimitados pelas superfícies dadas. Você deve encontrar os mesmos resultados!
Para esses mesmos campos acima, determine os seus divergentes e seus respectivos o fluxos através do volume delimitados pelas superfícies dadas. Você deve encontrar os mesmos resultados!
Uma região do espaço é percorrida por corrente elétrica cuja densidade é dada por
onde
e
são elementos de coordenadas cilíndricas. Determine o fluxo desta corrente através:
de um círculo de raio localizado no plano
(paralelo ao plano
), com centro no eixo
(isto é, centro em
;
de um círculo de raio
Uma região do espaço é percorrida por corrente elétrica cuja densidade é dada por
onde
e
são elementos de coordenadas cilíndricas. Determine o fluxo desta corrente através:
da semiesfera , (de raio
, centrada na origem e ocupando a região do espaço para a qual
.
da semiesfera