Seja A o campo vetorial dado por
Determine a circulação desse vetor ao redor de uma circunferência no plano centrada na origem e raio: ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular a circulação de um campo vetorial chamado A ao redor de uma circunferência no plano xy que está centrada na origem e tem raio menor que R. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com o conceito de circulação. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais de linha em campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa circulação. A circulação de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada é basicamente a soma das contribuições do campo ao longo dessa curva. Matematicamente, é representada por:
Aqui, é o campo vetorial, é a curva fechada (no nosso caso, a circunferência), e é um elemento infinitesimal da curva.

Passo 3

Vamos analisar o campo vetorial dado:
Como nossa circunferência tem raio , vamos usar a primeira parte do campo vetorial: .

Passo 4

Em coordenadas polares, o elemento de linha em uma circunferência de raio constante pode ser escrito como:
Aqui, é o vetor unitário na direção angular.

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Como .

Passo 6

Agora, substituímos pelo raio da circunferência, que é :

Passo 7

Para encontrar a circulação total, integramos de a :

Resposta

A circulação do campo vetorial A ao redor da circunferência é .

Exercícios relacionados

Dadas as superfícies e , determine o fluxo através delas produzidos pelos seguintes campos vetoriais:

Para esses mesmos campos acima, determine os seus divergentes e seus respectivos o fluxos através do volume delimitados pelas superfícies dadas. Você deve encontrar os mesmos resultados!
Determine o divergente dos seguintes campos vetoriais:
Um objeto de que repousa em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola com . O objeto é deslocado horizontalmente a partir da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de na direção da posição de equilíbrio. Determine a amplitude do movimento.
Uma região do espaço é percorrida por corrente elétrica cuja densidade é dada por
onde e são elementos de coordenadas cilíndricas. Determine o fluxo desta corrente através:
de um círculo de raio localizado no plano (paralelo ao plano ), com centro no eixo (isto é, centro em ;