Seja A o campo vetorial dado por
Determine a circulação desse vetor ao redor de uma circunferência no plano
centrada na origem e raio:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular a circulação de um campo vetorial chamado A ao redor de uma circunferência no plano xy que está centrada na origem e tem raio menor que R. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com o conceito de circulação. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais de linha em campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa circulação. A circulação de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada é basicamente a soma das contribuições do campo ao longo dessa curva. Matematicamente, é representada por:
Aqui,
é o campo vetorial,
é a curva fechada (no nosso caso, a circunferência), e
é um elemento infinitesimal da curva.
Passo 3
Vamos analisar o campo vetorial dado:
Como nossa circunferência tem raio
, vamos usar a primeira parte do campo vetorial:
.
Passo 4
Em coordenadas polares, o elemento de linha
em uma circunferência de raio constante
pode ser escrito como:
Aqui,
é o vetor unitário na direção angular.
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Como
.
Passo 6
Agora, substituímos
pelo raio da circunferência, que é
:
Passo 7
Para encontrar a circulação total, integramos de
a
:
Resposta
A circulação do campo vetorial A ao redor da circunferência é
.