Seja A o campo vetorial dado por
A= rho varphi, & rho <= R R^2rho varphi, & rho>R
Determine a circulação desse vetor ao redor de uma circunferência no plano x y centrada na origem e raio: rho;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular a circulação de um campo vetorial chamado A ao redor de uma circunferência no plano xy que está centrada na origem e tem raio menor que R. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com o conceito de circulação. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais de linha em campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa circulação. A circulação de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada é basicamente a soma das contribuições do campo ao longo dessa curva. Matematicamente, é representada por:
ointC A cdot dr
Aqui, é o campo vetorial, é a curva fechada (no nosso caso, a circunferência), e é um elemento infinitesimal da curva.

Passo 3

Vamos analisar o campo vetorial dado:
A= rho varphi, & rho <= R R^2rho varphi, & rho>R
Como nossa circunferência tem raio , vamos usar a primeira parte do campo vetorial: .

Passo 4

Em coordenadas polares, o elemento de linha dr = a dvarphi , varphi em uma circunferência de raio constante pode ser escrito como:
Aqui, é o vetor unitário na direção angular.

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar A cdot dr = (rho varphi) cdot (a dvarphi , varphi) = rho a dvarphi , (varphi cdot varphi) = rho a dvarphi :
Como .

Passo 6

Agora, substituímos A cdot dr = a cdot a , dvarphi = a^2 dvarphi pelo raio da circunferência, que é :

Passo 7

Para encontrar a circulação total, integramos de ointC A cdot dr = integral0^2pi a^2 dvarphi = a^2 [ varphi ]0^2pi = a^2 (2pi - 0) = 2pi a^2 a :

Resposta

A circulação do campo vetorial A ao redor da circunferência é .

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