Considere as seguintes bases do R^2 :
A=(2,-1),(-1,1), B=(1,0),(2,1), C=(1,1),(1,-1), D=(-1,-3),(3,5).
c) Calcular vD sabendo que vC=(2,3)

Passo 1

Ok, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos quatro bases diferentes para o espaço R^2: A, B, C e D. Cada base é um conjunto de dois vetores. A parte © da questão quer que calculemos as coordenadas de um vetor v na base D, sabendo que suas coordenadas na base C são (2,3).
Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Basicamente, vamos converter as coordenadas de v da base C para a base padrão (ou base canônica) e depois dessas para a base D.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as coordenadas de um vetor em uma base nos mostram como combinar os vetores dessa base para obter o vetor original. Então, se vC = (2,3), isso significa que:
v = 2 cdot c1 + 3 cdot c2
onde c1 = (1,1) e c2 = (1,-1) são os vetores da base C.

Passo 3

Vamos calcular v na base padrão usando as coordenadas na base C. Substituindo os valores:
v = 2 cdot (1,1) + 3 cdot (1,-1)
Fazendo as multiplicações:
v = (2 cdot 1, 2 cdot 1) + (3 cdot 1, 3 cdot -1) = (2, 2) + (3, -3)
Somando os vetores:
v = (2+3, 2+(-3)) = (5, -1)

Passo 4

Agora que temos o vetor v na base padrão, queremos encontrar suas coordenadas na base D. Para isso, precisamos resolver o sistema:
v = x cdot d1 + y cdot d2
onde d1 = (-1,-3) e d2 = (3,5), e (x,y) são as coordenadas que queremos encontrar na base D.

Passo 5

Substituindo v = (5, -1) e os vetores de D na equação:
(5, -1) = x cdot (-1,-3) + y cdot (3,5)
Isso resulta no sistema de equações:
- x + 3 y = 5 -3 x + 5 y = -1

Passo 6

Vamos resolver esse sistema para encontrar x e y. Podemos usar o método da substituição ou da combinação. Aqui, vou usar a combinação.
Multiplicamos a primeira equação por 3:
-3x + 9y = 15
Agora, temos:
-3x + 9y = 15 -3x + 5y = -1
Subtraindo a segunda equação da primeira:
( -3x + 9y ) - ( -3x + 5y ) = 15 - (-1)
Isso simplifica para:
4y = 16 implies y = 4

Passo 7

Agora que temos y = 4, vamos substituir na primeira equação para encontrar x:
- x + 3 cdot 4 = 5 implies -x + 12 = 5 implies -x = -7 implies x = 7

Resposta

As coordenadas de v na base D são (7, 4).

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