Considere as seguintes bases do
:
.
c) Calcular
sabendo que
c) Calcular
Passo 1
Ok, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos quatro bases diferentes para o espaço
:
,
,
e
. Cada base é um conjunto de dois vetores. A parte © da questão quer que calculemos as coordenadas de um vetor
na base
, sabendo que suas coordenadas na base
são
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Basicamente, vamos converter as coordenadas de
da base
para a base padrão (ou base canônica) e depois dessas para a base
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as coordenadas de um vetor em uma base nos mostram como combinar os vetores dessa base para obter o vetor original. Então, se
, isso significa que:
onde
e
são os vetores da base
.
Passo 3
Vamos calcular
na base padrão usando as coordenadas na base
. Substituindo os valores:
Fazendo as multiplicações:
Somando os vetores:
Passo 4
Agora que temos o vetor
na base padrão, queremos encontrar suas coordenadas na base
. Para isso, precisamos resolver o sistema:
onde
e
, e
são as coordenadas que queremos encontrar na base
.
Passo 5
Substituindo
e os vetores de
na equação:
Isso resulta no sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
. Podemos usar o método da substituição ou da combinação. Aqui, vou usar a combinação.
Multiplicamos a primeira equação por 3:
Agora, temos:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Isso simplifica para:
Passo 7
Agora que temos
, vamos substituir na primeira equação para encontrar
:
Resposta
As coordenadas de
na base
são
.
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Identifique a superfície cuja equaçāo, em coordenadas cilíndricas, é dada por:
.
Dadas as superfícies
e os planos
abaixo, encontre: um esboço gráfico das projeção do item b.
;
Dadas as superfícies
e os planos
abaixo, encontre: um esboço gráfico das projeção do item b.
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Dadas as superfícies
e os planos
abaixo, encontre: a projeção de
no plano
;
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