Considere as seguintes bases do :
.
c) Calcular sabendo que

Passo 1

Ok, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos quatro bases diferentes para o espaço : , , e . Cada base é um conjunto de dois vetores. A parte © da questão quer que calculemos as coordenadas de um vetor na base , sabendo que suas coordenadas na base são .
Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Basicamente, vamos converter as coordenadas de da base para a base padrão (ou base canônica) e depois dessas para a base .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as coordenadas de um vetor em uma base nos mostram como combinar os vetores dessa base para obter o vetor original. Então, se , isso significa que:
onde e são os vetores da base .

Passo 3

Vamos calcular na base padrão usando as coordenadas na base . Substituindo os valores:
Fazendo as multiplicações:
Somando os vetores:

Passo 4

Agora que temos o vetor na base padrão, queremos encontrar suas coordenadas na base . Para isso, precisamos resolver o sistema:
onde e , e são as coordenadas que queremos encontrar na base .

Passo 5

Substituindo e os vetores de na equação:
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema para encontrar e . Podemos usar o método da substituição ou da combinação. Aqui, vou usar a combinação.
Multiplicamos a primeira equação por 3:
Agora, temos:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Isso simplifica para:

Passo 7

Agora que temos , vamos substituir na primeira equação para encontrar :

Resposta

As coordenadas de na base são .

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Identifique a superfície cuja equaçāo, em coordenadas cilíndricas, é dada por:
.
Dadas as superfícies e os planos abaixo, encontre: um esboço gráfico das projeção do item b. ;
Dadas as superfícies e os planos abaixo, encontre: um esboço gráfico das projeção do item b. ;
Dadas as superfícies e os planos abaixo, encontre: a projeção de no plano ; ;