Rolamos um dado não viesado repetidas vezes. Denote por o total de lançamentos necessários até observarmos um valor diferente de 6, e denote por o valor observado neste lançamento.
O que diz a sua intuição? e devem ser independentes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre rolar um dado justo várias vezes até sair um número diferente de 6. Temos duas variáveis: , que é o total de lançamentos necessários para isso acontecer, e , que é o valor que saiu nesse lançamento final. A matéria envolvida aqui é probabilidade, mais especificamente, estudo de variáveis aleatórias e independência entre elas. Para resolver, vamos precisar entender se saber o valor de afeta ou não o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender bem o que são e . conta quantas vezes a gente lança o dado até que, finalmente, sai um número diferente de 6. Por exemplo, se der 6 nos dois primeiros lançamentos e depois sair 3, então e .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é independência entre duas variáveis aleatórias. Duas variáveis são independentes se o valor de uma não influencia nem informa nada sobre o valor da outra. Ou seja, conhecer não deve nos dar nenhuma pista sobre e vice-versa.

Passo 4

Vamos analisar se isso acontece aqui. O valor de é sempre diferente de 6 por definição, já que paramos de rolar quando sai um número diferente de 6. Então, se sabemos que onde é 1, 2, 3, 4 ou 5, isso não nos diz nada sobre quantas vezes rolamos o dado antes de chegar nesse . Por outro lado, se sabemos que , isso significa que nos primeiros lançamentos saiu 6, e no -ésimo saiu . Mas o valor específico de não muda a contagem de lançamentos.

Passo 5

Dado que conhecer não nos dá informações sobre quantos lançamentos foram feitos, e conhecer não nos dá informações sobre qual valor diferente de 6 saiu, podemos concluir que as variáveis e são independentes.

Resposta

Sim, as variáveis aleatórias e são independentes.

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Sejam variáveis aleatórias i.i.d. com distribuição de Bernoulli de parâmetro . Mostre por indução que .
Dadas variáveis aleatórias e com função densidade conjunta dada por
c)
A função de probabilidade conjunta de e é dada por
Encontre as funções de probabilidade marginais de e ;
Rolamos um dado não viesado repetidas vezes. Denote por o total de lançamentos necessários até observarmos um valor diferente de 6, e denote por o valor observado neste lançamento.
a) O que diz a sua intuição? e devem ser independentes?