Rolamos um dado não viesado repetidas vezes. Denote por N o total de lançamentos necessários até observarmos um valor diferente de 6, e denote por X o valor observado neste lançamento.
O que diz a sua intuição? N e X devem ser independentes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre rolar um dado justo várias vezes até sair um número diferente de 6. Temos duas variáveis: N, que é o total de lançamentos necessários para isso acontecer, e X, que é o valor que saiu nesse lançamento final. A matéria envolvida aqui é probabilidade, mais especificamente, estudo de variáveis aleatórias e independência entre elas. Para resolver, vamos precisar entender se saber o valor de X afeta ou não o valor de N.

Passo 2

Primeiro, vamos entender bem o que são N e X. N conta quantas vezes a gente lança o dado até que, finalmente, sai um número diferente de 6. Por exemplo, se der 6 nos dois primeiros lançamentos e depois sair 3, então N = 3 e X = 3.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é independência entre duas variáveis aleatórias. Duas variáveis são independentes se o valor de uma não influencia nem informa nada sobre o valor da outra. Ou seja, conhecer X não deve nos dar nenhuma pista sobre N e vice-versa.

Passo 4

Vamos analisar se isso acontece aqui. O valor de X é sempre diferente de 6 por definição, já que paramos de rolar quando sai um número diferente de 6. Então, se sabemos que X = k onde k é 1, 2, 3, 4 ou 5, isso não nos diz nada sobre quantas vezes rolamos o dado antes de chegar nesse k. Por outro lado, se sabemos que N = n, isso significa que nos primeiros n-1 lançamentos saiu 6, e no n-ésimo saiu X. Mas o valor específico de X não muda a contagem de lançamentos.

Passo 5

Dado que conhecer X não nos dá informações sobre quantos lançamentos foram feitos, e conhecer N não nos dá informações sobre qual valor diferente de 6 saiu, podemos concluir que as variáveis N e X são independentes.

Resposta

Sim, as variáveis aleatórias N e X são independentes.

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