Rolamos um dado não viesado repetidas vezes. Denote por
o total de lançamentos necessários até observarmos um valor diferente de 6, e denote por
o valor observado neste lançamento.
O que diz a sua intuição?
e
devem ser independentes?
O que diz a sua intuição?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre rolar um dado justo várias vezes até sair um número diferente de 6. Temos duas variáveis:
, que é o total de lançamentos necessários para isso acontecer, e
, que é o valor que saiu nesse lançamento final. A matéria envolvida aqui é probabilidade, mais especificamente, estudo de variáveis aleatórias e independência entre elas. Para resolver, vamos precisar entender se saber o valor de
afeta ou não o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender bem o que são
e
.
conta quantas vezes a gente lança o dado até que, finalmente, sai um número diferente de 6. Por exemplo, se der 6 nos dois primeiros lançamentos e depois sair 3, então
e
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é independência entre duas variáveis aleatórias. Duas variáveis são independentes se o valor de uma não influencia nem informa nada sobre o valor da outra. Ou seja, conhecer
não deve nos dar nenhuma pista sobre
e vice-versa.
Passo 4
Vamos analisar se isso acontece aqui. O valor de
é sempre diferente de 6 por definição, já que paramos de rolar quando sai um número diferente de 6. Então, se sabemos que
onde
é 1, 2, 3, 4 ou 5, isso não nos diz nada sobre quantas vezes rolamos o dado antes de chegar nesse
. Por outro lado, se sabemos que
, isso significa que nos primeiros
lançamentos saiu 6, e no
-ésimo saiu
. Mas o valor específico de
não muda a contagem de lançamentos.
Passo 5
Dado que conhecer
não nos dá informações sobre quantos lançamentos foram feitos, e conhecer
não nos dá informações sobre qual valor diferente de 6 saiu, podemos concluir que as variáveis
e
são independentes.
Resposta
Sim, as variáveis aleatórias
e
são independentes.
Exercícios relacionados
Sejam
variáveis aleatórias i.i.d. com distribuição de Bernoulli de parâmetro
. Mostre por indução que
.
Dadas variáveis aleatórias
e
com função densidade conjunta dada por
c)
A função de probabilidade conjunta de
e
é dada por
Encontre as funções de probabilidade marginais de
e
;
Rolamos um dado não viesado repetidas vezes. Denote por
o total de lançamentos necessários até observarmos um valor diferente de 6, e denote por
o valor observado neste lançamento.
a) O que diz a sua intuição? e
devem ser independentes?
a) O que diz a sua intuição?