Dado
, encontre uma fórmula explícita para sua inversa
e desenhe no mesmo sistema de eixos coordenados os gráficos de
e da reta
. Para isso, use que os gráficos de
e
são dados por reflexões em torno da reta
. (ver exercícios 30 da página 75 de [ST])
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função
, onde
. Nosso objetivo aqui é encontrar a função inversa dessa
, chamada de
. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a inversa de uma função matemática e como os gráficos de funções inversas se relacionam, especialmente com a reta
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como encontrar a função inversa. A inversa de uma função troca os papéis de
e
. Então, vamos começar colocando
:
Agora, precisamos resolver essa equação para
em termos de
.
Passo 3
Vamos isolar
:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
e depois por
para isolar
:
Em seguida, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para
. Lembrando que precisamos considerar as duas raízes, positiva e negativa:
Passo 4
Agora, para expressar a função inversa, trocamos
por
para obter
:
Isso significa que a função inversa de
é
e
, dependendo do intervalo considerado.
Resposta
A função inversa de
é:
Exercícios relacionados
Estude a teoria prevista nos tópicos
e 2.14 de
, acompanhando a solução de alguns exemplos do texto!
(Deslocamento horizontal) Se
é uma constante real positiva, então
2a) O gráfico de é movido
unidades para a direita se consideramos a nova função
2a) O gráfico de
(Deslocamento vertical) Se
é uma constante real positiva, então
3a) O gráfico de é movido
unidades para a cima se consideramos a nova função
3a) O gráfico de