Dado f(x) = 1 - 2/x^2, x ≠ 0, encontre uma fórmula explícita para sua inversa f^-1 e desenhe no mesmo sistema de eixos coordenados os gráficos de f, f^(-1) e da reta y = x. Para isso, use que os gráficos de f e f^-1 são dados por reflexões em torno da reta y = x. (ver exercícios 30 da página 75 de [ST])

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função , onde . Nosso objetivo aqui é encontrar a função inversa dessa , chamada de . Para isso, vamos precisar entender como encontrar a inversa de uma função matemática e como os gráficos de funções inversas se relacionam, especialmente com a reta .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como encontrar a função inversa. A inversa de uma função troca os papéis de e . Então, vamos começar colocando :
Agora, precisamos resolver essa equação para em termos de .

Passo 3

Vamos isolar :
Agora, multiplicamos ambos os lados por e depois por para isolar :
Em seguida, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para . Lembrando que precisamos considerar as duas raízes, positiva e negativa:

Passo 4

Agora, para expressar a função inversa, trocamos por para obter :
Isso significa que a função inversa de é e , dependendo do intervalo considerado.

Resposta

A função inversa de é:

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