Dado , encontre uma fórmula explícita para sua inversa e desenhe no mesmo sistema de eixos coordenados os gráficos de e da reta . Para isso, use que os gráficos de e são dados por reflexões em torno da reta . (ver exercícios 30 da página 75 de [ST])

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função , onde . Nosso objetivo aqui é encontrar a função inversa dessa , chamada de . Para isso, vamos precisar entender como encontrar a inversa de uma função matemática e como os gráficos de funções inversas se relacionam, especialmente com a reta .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como encontrar a função inversa. A inversa de uma função troca os papéis de e . Então, vamos começar colocando :
Agora, precisamos resolver essa equação para em termos de .

Passo 3

Vamos isolar :
Agora, multiplicamos ambos os lados por e depois por para isolar :
Em seguida, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para . Lembrando que precisamos considerar as duas raízes, positiva e negativa:

Passo 4

Agora, para expressar a função inversa, trocamos por para obter :
Isso significa que a função inversa de é e , dependendo do intervalo considerado.

Resposta

A função inversa de é:

Exercícios relacionados

Estude a teoria prevista nos tópicos e 2.14 de , acompanhando a solução de alguns exemplos do texto!
(Deslocamento horizontal) Se é uma constante real positiva, então
2a) O gráfico de é movido unidades para a direita se consideramos a nova função
(Deslocamento vertical) Se é uma constante real positiva, então
3a) O gráfico de é movido unidades para a cima se consideramos a nova função