Dado um campo magnético na forma:
H=300 cos (3 times 10^8 t-y) az A / m
No espaço livre, calcule a fem desenvolvida na direção e sentido genérico aphi ao longo de um caminho fechado que possui o seguinte domínio:
a) D=0 <= x <= 1,0 <= y <= 1
b) D=0 <= theta <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um campo magnético dado por:
H = 300 cos (3 times 10^8 t - y) az , A/m
O conteúdo principal aqui é Eletromagnetismo, especificamente a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética. Vamos precisar calcular a força eletromotriz (fem) que se desenvolve na direção aphi ao longo de um caminho fechado definido em duas partes: a) um retângulo com 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1, e b) um círculo completo com 0 <= theta <= 2pi.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Faraday, que nos diz que a fem induzida em um caminho fechado é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético através da superfície delimitada por esse caminho:
E = -dPhiBdt
Onde PhiB é o fluxo magnético.

Passo 3

Para encontrar o fluxo magnético PhiB, usamos a definição:
PhiB = integral B cdot dA
No espaço livre, relacionamos a intensidade do campo magnético H com o campo de indução magnética B pela relação:
B = mu0 H
Onde mu0 é a permeabilidade do vácuo ( mu0 = 4pi times 10^-7 , T cdot m/A).

Passo 4

Vamos calcular a fem para a parte a) do exercício, onde o caminho é um retângulo com 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1.
Primeiro, identificamos a área do retângulo:
A = De
Como o campo H está na direção az e a área está no plano xy, temos que B cdot dA = Bz , dA, onde Bz = mu0 Hz.

Passo 5

Expressando Hz:
Hz = 300 cos (3 times 10^8 t - y) , A/m
Assim, o fluxo magnético é:
PhiB = integral0^1 integral0^1 mu0 times 300 cos (3 times 10^8 t - y) , dx , dy
Como a função não depende de x, a integral em x é simplesmente 1:
PhiB = mu0 times 300 integral0^1 cos (3 times 10^8 t - y) , dy

Passo 6

Vamos integrar em relação a y:
integral cos (3 times 10^8 t - y) dy = sin (3 times 10^8 t - y) times (-1) + C
Avaliando de 0 a 1:
PhiB = mu0 times 300 [ -sin (3 times 10^8 t - 1) + sin (3 times 10^8 t) ]

Passo 7

Agora, derivamos o fluxo em relação ao tempo para encontrar a fem:
E = -dPhiBdt = -mu0 times 300 [ -cos (3 times 10^8 t - 1) times 3 times 10^8 + cos (3 times 10^8 t) times 3 times 10^8 ]
Simplificando:
E = mu0 times 300 times 3 times 10^8 [ cos (3 times 10^8 t - 1) - cos (3 times 10^8 t) ]

Passo 8

Substituindo mu0 = 4pi times 10^-7 , T cdot m/A:
E = 4pi times 10^-7 times 300 times 3 times 10^8 [ cos (3 times 10^8 t - 1) - cos (3 times 10^8 t) ]
Calculando os fatores numéricos:
E = 4pi times 10^-7 times 900 times 10^8 [ cos (3 times 10^8 t - 1) - cos (3 times 10^8 t) ]
E = 4pi times 900 times 10^1 [ cos (3 times 10^8 t - 1) - cos (3 times 10^8 t) ] times 10^-7 + 8 = 4pi times 900 times 10^1 times 10^1 times 10^-7 + 8
Simplificando as potências de 10:
E = 4pi times 900 times 10^3 [ cos (3 times 10^8 t - 1) - cos (3 times 10^8 t) ] times 10^1
Continuando:
E = 4pi times 900 times 10^4 [ cos (3 times 10^8 t - 1) - cos (3 times 10^8 t) ]

Resposta

A força eletromotriz desenvolvida na direção aphi ao longo do caminho fechado definido no item a) é:
E = 4pi times 900 times 10^4 [ cos (3 times 10^8 t - 1) - cos (3 times 10^8 t) ] , V

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