Seja
e
em todos os pontos. Se
, use as equações de Maxwell para obter expressões para:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos alguns valores para a permeabilidade magnética (
), a permissividade elétrica (
) e a condutividade elétrica (
), que está igual a zero em todos os pontos. Além disso, nos dá a expressão do campo magnético
. Nosso objetivo é usar as equações de Maxwell para encontrar as expressões dos campos magnético (
), de deslocamento elétrico (
), elétrico (
) e a constante de propagação
. Vamos precisar entender como as equações de Maxwell se aplicam a ondas eletromagnéticas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, sabemos que o campo magnético
está relacionado ao campo magnético
pela relação:
Isso é uma das equações de Maxwell que conecta esses dois campos. Como já temos
, podemos usar essa fórmula diretamente.
Passo 3
Vamos calcular
usando a relação acima. Substituindo os valores fornecidos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o campo de deslocamento elétrico
. A relação entre
e o campo elétrico
é:
Além disso, sabemos que nas ondas eletromagnéticas no vácuo (ou em meios sem carga livre, já que
), os campos
e
estão relacionados pela impedância do meio.
Passo 5
Para encontrar
, usamos a relação entre os campos elétrico e magnético em uma onda eletromagnética:
Onde
é a impedância do meio, dada por:
Vamos calcular
com os valores fornecidos:
Passo 6
Agora que temos
, podemos encontrar
:
Simplificando:
Passo 7
Com
encontrada, podemos calcular
usando:
Simplificando:
Passo 8
Por fim, vamos determinar a constante de propagação
. Em uma onda eletromagnética,
está relacionada ao comprimento de onda
e à frequência
pela relação:
Onde
é a velocidade da onda no meio, dada por:
Vamos calcular
:
Agora, a frequência angular
é
, então:
Resposta
As expressões encontradas são:
Exercícios relacionados
Dado um campo magnético na forma:
No espaço livre, calcule a fem desenvolvida na direção e sentido genérico
ao longo de um caminho fechado que possui o seguinte domínio:
a)
b)
a)
b)
(a) Escreva as equações de Maxwell para um meio linear e homogêneo em termos de
e
, assumindo o fator tempo como
. (b) Escreva a forma pontual das equações de Maxwell, em coordenadas cartesianas na forma de oito equações escalares.
Em um meio,
. Encontre: (a) a constante de propagação; (b) o comprimento de onda; © a velocidade da onda; (d) a profundidade de penetração peculiar.
Vetores de campo de uma OEM que se desloca através de um meio sem perdas são dadas por
e
. Em um ponto do espaço e instante de tempo, a densidade de potência superficial transportada pela onda e a densidade de energia eletromagnética da onda chega a
e
, respectivamente. Quais são a permissividade e a permeabilidade relativas do meio?