Seja mu=3 times 10^-5 H / m, epsilon=1,2 times 10^-10 F / m e sigma=0 em todos os pontos. Se H=2 cos (10^10 t-beta x) az A / m, use as equações de Maxwell para obter expressões para: B, D, E e beta.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos alguns valores para a permeabilidade magnética ( mu), a permissividade elétrica ( epsilon) e a condutividade elétrica ( sigma), que está igual a zero em todos os pontos. Além disso, nos dá a expressão do campo magnético H. Nosso objetivo é usar as equações de Maxwell para encontrar as expressões dos campos magnético ( B), de deslocamento elétrico ( D), elétrico ( E) e a constante de propagação beta. Vamos precisar entender como as equações de Maxwell se aplicam a ondas eletromagnéticas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, sabemos que o campo magnético B está relacionado ao campo magnético H pela relação:
B = mu H
Isso é uma das equações de Maxwell que conecta esses dois campos. Como já temos H, podemos usar essa fórmula diretamente.

Passo 3

Vamos calcular B usando a relação acima. Substituindo os valores fornecidos:
B = mu H = 3 times 10^-5 , H/m times 2 cos(10^10 t - beta x) az , A/m
Simplificando:
B = 6 times 10^-5 cos(10^10 t - beta x) az , T

Passo 4

Agora, vamos encontrar o campo de deslocamento elétrico D. A relação entre D e o campo elétrico E é:
D = epsilon E
Além disso, sabemos que nas ondas eletromagnéticas no vácuo (ou em meios sem carga livre, já que sigma = 0), os campos E e H estão relacionados pela impedância do meio.

Passo 5

Para encontrar E, usamos a relação entre os campos elétrico e magnético em uma onda eletromagnética:
E = eta H
Onde eta é a impedância do meio, dada por:
eta = raizmuepsilon
Vamos calcular eta com os valores fornecidos:
eta = raiz3 times 10^-5 , H/m1,2 times 10^-10 , F/m = raiz2,5 times 10^5 approx 500 , Omega

Passo 6

Agora que temos eta, podemos encontrar E:
E = eta H = 500 , Omega times 2 cos(10^10 t - beta x) az , A/m
Simplificando:
E = 1000 cos(10^10 t - beta x) az , V/m

Passo 7

Com E encontrada, podemos calcular D usando:
D = epsilon E = 1,2 times 10^-10 , F/m times 1000 cos(10^10 t - beta x) az , V/m
Simplificando:
D = 1,2 times 10^-7 cos(10^10 t - beta x) az , C/m^2

Passo 8

Por fim, vamos determinar a constante de propagação beta. Em uma onda eletromagnética, beta está relacionada ao comprimento de onda lambda e à frequência omega pela relação:
beta = omegav
Onde v é a velocidade da onda no meio, dada por:
v = 1raizmu epsilon
Vamos calcular v:
v = 1raiz3 times 10^-5 , H/m times 1,2 times 10^-10 , F/m = 1raiz3,6 times 10^-15 approx 1,67 times 10^7 , m/s
Agora, a frequência angular omega é 10^10 , rad/s, então:
beta = 10^101,67 times 10^7 approx 599 , rad/m

Resposta

As expressões encontradas são:
B = 6 times 10^-5 cos(10^10 t - 599 x) az , T
D = 1,2 times 10^-7 cos(10^10 t - 599 x) az , C/m^2
E = 1000 cos(10^10 t - 599 x) az , V/m
beta approx 599 , rad/m

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