(a) Escreva as equações de Maxwell para um meio linear e homogêneo em termos de E fasorial e H fasorial , assumindo o fator tempo como e^-j omega t. (b) Escreva a forma pontual das equações de Maxwell, em coordenadas cartesianas na forma de oito equações escalares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever as Equações de Maxwell para um meio linear e homogêneo usando os campos elétrico e magnético na forma fasorial e , considerando o fator tempo como . Depois, devemos escrever a forma pontual dessas equações em coordenadas cartesianas como oito equações escalares. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as Equações de Maxwell, entender o que significa um meio linear e homogêneo, e saber como trabalhar com representações fasoriais dos campos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das Equações de Maxwell no domínio do tempo para um meio linear e homogêneo. Essas equações relacionam os campos elétrico e magnético com as densidades de carga elétrica e de corrente elétrica .

Passo 3

Como estamos trabalhando com campos fasoriais, que assumem a forma , podemos transformar as Equações de Maxwell do domínio do tempo para o domínio da frequência. Isso simplifica as equações, especialmente para meios lineares e homogêneos.

Passo 4

Em um meio linear e homogêneo, as relações constitutivas são dadas por:
D = varepsilon E
B = mu H
onde é a permissividade elétrica e é a permeabilidade magnética do meio.

Passo 5

Aplicando a transformação fasorial, onde nabla cdot Efasorial = rhovarepsilon e nabla cdot Bfasorial = 0 , as Equações de Maxwell no domínio da frequência se tornam:
  1. Lei de Gauss para o campo elétrico:
nabla times Efasorial = j omega Bfasorial
  1. Lei de Gauss para o campo magnético:
nabla times Hfasorial = J + j omega Dfasorial
  1. Lei de Faraday:
  1. Lei de Ampère-Maxwell:

Passo 6

Substituindo as relações constitutivas nabla cdot Efasorial = rhovarepsilon e nabla cdot Hfasorial = 0 nas Equaç��es de Maxwell, obtemos:
  1. Lei de Gauss para o campo elétrico:
nabla times Efasorial = j omega mu Hfasorial
  1. Lei de Gauss para o campo magnético:
nabla times Hfasorial = J + j omega varepsilon Efasorial
  1. Lei de Faraday:
  1. Lei de Ampère-Maxwell:

Passo 7

Agora, para a parte (b), vamos escrever essas equações em coordenadas cartesianas. Em 3D, as operações de divergente e rotacional podem ser expressas em termos das derivadas parciais em relação às coordenadas , e .

Passo 8

As Equações de Maxwell em coordenadas cartesianas ficam assim:
  1. Lei de Gauss para partial Expartial x + partial Eypartial y + partial Ezpartial z = rhovarepsilon :
partial Hxpartial x + partial Hypartial y + partial Hzpartial z = 0
  1. Lei de Gauss para partial Ezpartial y - partial Eypartial z = j omega mu Hx :
partial Expartial z - partial Ezpartial x = j omega mu Hy
  1. Lei de Faraday para a componente partial Eypartial x - partial Expartial y = j omega mu Hz :
partial Hzpartial y - partial Hypartial z = Jx + j omega varepsilon Ex
  1. Lei de Faraday para a componente partial Hxpartial z - partial Hzpartial x = Jy + j omega varepsilon Ey :
partial Hypartial x - partial Hxpartial y = Jz + j omega varepsilon Ez
  1. Lei de Faraday para a componente :
  1. Lei de Ampère-Maxwell para a componente :
  1. Lei de Ampère-Maxwell para a componente :
  1. Lei de Ampère-Maxwell para a componente :

Resposta

As Equações de Maxwell para um meio linear e homogêneo na forma fasorial são:
E a forma pontual das Equações de Maxwell em coordenadas cartesianas é composta por oito equações escalares, conforme detalhado no Passo 8 acima.

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