Em um duto cilíndrico escoa um fluido com velocidade vz=v0-z / t. Ocorre neste movimento do fluido a variação de sua massa específica somente com o tempo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fluido que está escoando em um duto cilíndrico com uma certa velocidade, dada por . Além disso, diz que a massa específica desse fluido está variando apenas com o tempo. O conteúdo que vamos usar aqui envolve mecânica dos fluidos, especialmente a equação da continuidade, que relaciona velocidade, área e densidade do fluido. Precisamos entender como a densidade do fluido muda ao longo do tempo considerando a velocidade fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a massa específica. Ela é representada pela letra e indica a massa por unidade de volume do fluido. No nosso caso, depende apenas do tempo, ou seja, .

Passo 3

A próxima coisa a considerar é a equação da continuidade, que para um fluido incompressível e em regime estacionário (quando as propriedades do fluido não mudam com o tempo) é dada por:
partial (rho v A)partial z + partial rhopartial t = 0
Mas como a massa específica varia apenas com o tempo, e temos uma velocidade que depende de , precisamos adaptar essa equação.

Passo 4

Vamos assumir que a área da seção transversal do duto é constante e igual a A partial rho vpartial z + A partial rhopartial t = 0 . Dessa forma, a equação da continuidade simplifica para:
partial (rho v)partial z + partial rhopartial t = 0
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Agora, substituímos a expressão da velocidade partialpartial z( rho ( v0 - zt ) ) + partial rhopartial t = 0 na equação:
v0 partial rhopartial z - 1t partial (rho z)partial z + partial rhopartial t = 0
Vamos expandir a derivada:

Passo 6

Calculando as derivadas:
v0 partial rhopartial z - 1t ( rho + z partial rhopartial z ) + partial rhopartial t = 0
Agora, agrupamos os termos com ( v0 - zt ) partial rhopartial z + partial rhopartial t - rhot = 0 :

Passo 7

Perceba que partial rhopartial t - rhot = 0 é zero porque a massa específica varia apenas com o tempo, não com . Então, nossa equação simplifica para:
Isso é uma equação diferencial simples para .

Passo 8

Resolvendo a equação diferencial:
drhodt = rhot
Podemos separar as variáveis:
drhorho = dtt
Integrando ambos os lados:
ln rho = ln t + C
Onde rho = K t é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
Onde é uma constante.

Resposta

A massa específica do fluido varia com o tempo de acordo com , onde é uma constante determinada pelas condições iniciais.

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