Em um duto cilíndrico escoa um fluido com velocidade
. Ocorre neste movimento do fluido a variação de sua massa específica somente com o tempo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fluido que está escoando em um duto cilíndrico com uma certa velocidade, dada por
. Além disso, diz que a massa específica desse fluido está variando apenas com o tempo. O conteúdo que vamos usar aqui envolve mecânica dos fluidos, especialmente a equação da continuidade, que relaciona velocidade, área e densidade do fluido. Precisamos entender como a densidade do fluido muda ao longo do tempo considerando a velocidade fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a massa específica. Ela é representada pela letra
e indica a massa por unidade de volume do fluido. No nosso caso,
depende apenas do tempo, ou seja,
.
Passo 3
A próxima coisa a considerar é a equação da continuidade, que para um fluido incompressível e em regime estacionário (quando as propriedades do fluido não mudam com o tempo) é dada por:
Mas como a massa específica varia apenas com o tempo, e temos uma velocidade que depende de
, precisamos adaptar essa equação.
Passo 4
Vamos assumir que a área da seção transversal do duto é constante e igual a
. Dessa forma, a equação da continuidade simplifica para:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, substituímos a expressão da velocidade
na equação:
Vamos expandir a derivada:
Passo 6
Calculando as derivadas:
Agora, agrupamos os termos com
:
Passo 7
Perceba que
é zero porque a massa específica varia apenas com o tempo, não com
. Então, nossa equação simplifica para:
Isso é uma equação diferencial simples para
.
Passo 8
Resolvendo a equação diferencial:
Podemos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
Onde
é uma constante.
Resposta
A massa específica do fluido varia com o tempo de acordo com
, onde
é uma constante determinada pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Uma película de polímero de silicone cobre uma superfície plana não-porosa e inerte. O filme de polímero é exposto a
gasoso
estagnado, mantido a 1,5 atm. O oxigênio gasoso é moderadamente solúvel na película de polímero de silicone, com a relação de solubilidade dado por:
Onde:
de silicone atm
a 298 K .
Inicialmente, há uniformemente dissolvido na película. O coeficiente de difusão de
no silicone é
a 298 K. Em um determinado tempo, a concentração de
a 4 mm da superficie da película é de
. Qual tempo necessário para isto ocorra? Resp.: 2,89 x
.
Inicialmente, há
Dado o campo de velocidade
, verifique se o mesmo é compressível ou incompressível.
O escoamento de um fluido incompressível em coordenadas retangulares é dado pelos componentes de velocidade: vx = x3y e vy = 2yx2, onde
In a meat processing plant,
-thick steaks
and
) that are initially at
are to be cooled by passing them through a refrigeration room at
. The heat transfer coefficient on both sides of the steaks is
. If both surfaces of the steaks are to be cooled to
, determine how long the steaks should be kept in the refrigeration room.