Em um duto cilíndrico escoa um fluido com velocidade
. Ocorre neste movimento do fluido a variação de sua massa específica somente com o tempo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fluido que está escoando em um duto cilíndrico com uma certa velocidade, dada por
. Além disso, diz que a massa específica desse fluido está variando apenas com o tempo. O conteúdo que vamos usar aqui envolve mecânica dos fluidos, especialmente a equação da continuidade, que relaciona velocidade, área e densidade do fluido. Precisamos entender como a densidade do fluido muda ao longo do tempo considerando a velocidade fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a massa específica. Ela é representada pela letra
e indica a massa por unidade de volume do fluido. No nosso caso,
depende apenas do tempo, ou seja,
.
Passo 3
A próxima coisa a considerar é a equação da continuidade, que para um fluido incompressível e em regime estacionário (quando as propriedades do fluido não mudam com o tempo) é dada por:
Mas como a massa específica varia apenas com o tempo, e temos uma velocidade que depende de
, precisamos adaptar essa equação.
Passo 4
Vamos assumir que a área da seção transversal do duto é constante e igual a
. Dessa forma, a equação da continuidade simplifica para:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, substituímos a expressão da velocidade
na equação:
Vamos expandir a derivada:
Passo 6
Calculando as derivadas:
Agora, agrupamos os termos com
:
Passo 7
Perceba que
é zero porque a massa específica varia apenas com o tempo, não com
. Então, nossa equação simplifica para:
Isso é uma equação diferencial simples para
.
Passo 8
Resolvendo a equação diferencial:
Podemos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
Onde
é uma constante.
Resposta
A massa específica do fluido varia com o tempo de acordo com
, onde
é uma constante determinada pelas condições iniciais.