Dado o campo vetorial sentâ em coordenadas estéricas, e a superficie , calcule ambos os lados do Teorema de Stokes A normal à superfície está na direção âr.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular ambos os lados do Teorema de Stokes para um campo vetorial em coordenadas estereográficas, em uma superfície definida por com e . Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes, como calcular o rotacional de um campo vetorial e como fazer integrais de superfície e de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele estabelece uma relação entre a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial e a integral de linha desse campo ao longo da borda da superfície. Em fórmulas, é:
Aqui, é a borda da superfície , é o vetor normal à superfície, e é o elemento de área.
Passo 3
Vamos identificar nossa superfície . Ela está definida por em coordenadas esféricas, com e variando de a . Isso significa que estamos olhando para um octante de uma esfera de raio 3.
A normal à superfície está na direção radial, ou seja, .
Passo 4
Agora, vamos calcular o rotacional de . O campo vetorial dado é . Em coordenadas esféricas, o rotacional é dado por:
Como só tem componente radial (), o rotacional simplifica para:
Isso porque não há variação nas componentes angulares.
Passo 5
Com o rotacional sendo zero, a integral de superfície se torna:
Então, um lado do Teorema de Stokes já temos que é zero.
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de linha ao longo da borda . A borda da nossa superfície é composta por três arestas onde e duas das coordenadas variam até .
No entanto, como é constante e radial, e ao longo da borda será perpendicular a , o produto escalar .
Assim, a integral de linha também é zero:
Resposta
Ambos os lados do Teorema de Stokes são iguais a zero.