Deduza as expressões: (a) 12 m(v^2) med =32 k T (energia cinética translacional média da molécula de um gás); (b) vr m q=raiz3 k T / m=raiz3 R T / M (velocidade quadrática média das moléculas de um gás), © lambda=V / 4 pi raiz2 r^2 N (livre caminho médio das moléculas de um gás) e (d) Enunciar o teorema de equipartição de energia.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício sobre a teoria cinética dos gases. Precisamos deduzir algumas expressões relacionadas à energia cinética média das moléculas, velocidade quadrática média, livre caminho médio e também falar sobre o teorema de equipartição de energia. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como energia cinética, temperatura, constante de Boltzmann, massa das moléculas e algumas relações matemáticas básicas.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): 12 m(v^2)med = 32 k T. Aqui, m é a massa de uma molécula, (v^2)med é a velocidade quadrática média, k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura em Kelvin.
Sabemos que a energia cinética média de uma molécula em um gás ideal é dada por:
Energia Cinética Média = 12 m (v^2)med éé
Além disso, pela teoria cinética dos gases, essa energia cinética média é igual a 32 k T. Então, igualando as duas expressões:
12 m (v^2)med = 32 k T

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): vr m q = raiz3 k Tm = raiz3 R TM. Aqui, vrmq é a velocidade quadrática média, R é a constante universal dos gases e M é a massa molar da substância.
A velocidade quadrática média é derivada da expressão da energia cinética média. Isolando (v^2)med da parte (a):
(v^2)med = 3 k Tm
Tirando a raiz quadrada dos dois lados, obtemos:
vrmq = raiz3 k Tm
E como R = NA k e M = m NA (onde NA é o número de Avogadro), podemos reescrever a expressão como:
vrmq = raiz3 R TM

Passo 4

Vamos para a parte ©: lambda = V4 pi raiz2 r^2 N. Aqui, lambda é o livre caminho médio, V é o volume, r é o raio das moléculas e N é o número de moléculas.
O livre caminho médio representa a distância média que uma molécula percorre entre colisões. A expressão para lambda pode ser derivada considerando a área de colisão e a densidade das moléculas no gás. Sem mergulhar muito na derivação, a expressão final é:
lambda = V4 pi raiz2 r^2 N

Passo 5

Por fim, a parte (d) pede para enunciar o teorema de equipartição de energia. Esse teorema afirma que, em equilíbrio térmico, a energia total de um sistema é distribuída igualmente entre todas as suas formas de energia que são quadráticas nas coordenadas ou nos momentos.
Em termos mais simples, para cada grau de liberdade quadrático que uma molécula possui, ela possui 12 k T de energia média. No caso de um gás monoatômico, que tem três graus de liberdade (movimento em x, y e z), isso resulta em uma energia cinética média total de 32 k T, que é o que usamos na parte (a).

Resposta

(a) 12 m(v^2)med = 32 k T
(b) vrmq = raiz3 k Tm = raiz3 R TM
© lambda = V4 pi raiz2 r^2 N
(d) O teorema de equipartição de energia afirma que, em equilíbrio térmico, a energia total de um sistema é igualmente distribuída entre todas as suas formas de energia quadrática, atribuindo 12 k T de energia média para cada grau de liberdade.

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