Deduza as expressões: (a) (energia cinética translacional média da molécula de um gás); (b) (velocidade quadrática média das moléculas de um gás), © (livre caminho médio das moléculas de um gás) e (d) Enunciar o teorema de equipartição de energia.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício sobre a teoria cinética dos gases. Precisamos deduzir algumas expressões relacionadas à energia cinética média das moléculas, velocidade quadrática média, livre caminho médio e também falar sobre o teorema de equipartição de energia. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como energia cinética, temperatura, constante de Boltzmann, massa das moléculas e algumas relações matemáticas básicas.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): . Aqui, é a massa de uma molécula, é a velocidade quadrática média, é a constante de Boltzmann e é a temperatura em Kelvin.
Sabemos que a energia cinética média de uma molécula em um gás ideal é dada por:
éé
Além disso, pela teoria cinética dos gases, essa energia cinética média é igual a . Então, igualando as duas expressões:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): . Aqui, é a velocidade quadrática média, é a constante universal dos gases e é a massa molar da substância.
A velocidade quadrática média é derivada da expressão da energia cinética média. Isolando da parte (a):
Tirando a raiz quadrada dos dois lados, obtemos:
E como e (onde é o número de Avogadro), podemos reescrever a expressão como:

Passo 4

Vamos para a parte ©: . Aqui, é o livre caminho médio, é o volume, é o raio das moléculas e é o número de moléculas.
O livre caminho médio representa a distância média que uma molécula percorre entre colisões. A expressão para pode ser derivada considerando a área de colisão e a densidade das moléculas no gás. Sem mergulhar muito na derivação, a expressão final é:

Passo 5

Por fim, a parte (d) pede para enunciar o teorema de equipartição de energia. Esse teorema afirma que, em equilíbrio térmico, a energia total de um sistema é distribuída igualmente entre todas as suas formas de energia que são quadráticas nas coordenadas ou nos momentos.
Em termos mais simples, para cada grau de liberdade quadrático que uma molécula possui, ela possui de energia média. No caso de um gás monoatômico, que tem três graus de liberdade (movimento em x, y e z), isso resulta em uma energia cinética média total de , que é o que usamos na parte (a).

Resposta

(a)
(b)
©
(d) O teorema de equipartição de energia afirma que, em equilíbrio térmico, a energia total de um sistema é igualmente distribuída entre todas as suas formas de energia quadrática, atribuindo de energia média para cada grau de liberdade.

Exercícios relacionados

0 caminho livre médio, de uma molécula, é a distância média que uma molécula viaja antes de colidir com outra molécula, este pode ser definido como: , onde d é o diâmetro da molécula e é o número de moléculas por unidade de volume. 0 número de colisões que uma molécula faz com outras moléculas por unidade de tempo, ou frequência de colisão f, é dado por (a) Se o diâmetro de uma molécula de oxigênio é , encontre o caminho livre médio das moléculas em um tanque de mergulho que tem um volume de 12,0 L e é preenchido com oxigênio a uma pressão manométrica de 100 atm a uma temperatura de (b) Qual é o intervalo de tempo médio entre colisões moleculares para uma molécula deste gás?
Utilizando uma expansão do tipo na, para , mostre que o campo elétrico de um disco uniformemente carregado se comporta como o de uma carga puntiforme, para distâncias muito maiores que o raio do disco.
Encontre a densidade de carga superficial na superfície de um condutor que passe pelo ponto .
Dado o campo vetorial sentâ em coordenadas estéricas, e a superficie , calcule ambos os lados do Teorema de Stokes A normal à superfície está na direção âr.