Dado o Campo vetorial de velocidade euleriano encontre a aceleração total de uma partícula:
V=3 t imath+x z jmath+t y^2 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a aceleração total de uma partícula num campo vetorial de velocidade dado por:
V = 3 t , imath + x z , jmath + t y^2 , k
Para isso, vamos usar conceitos de Mecânica dos Fluidos, especificamente a formulação euleriana. Precisamos entender como a velocidade varia no espaço e no tempo para determinar a aceleração total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração total a = partial Vpartial t + (V cdot nabla) V de uma partícula num campo de velocidade é dada por:
Aqui, é a aceleração local (variação da velocidade no tempo) e é a aceleração convectiva (mudança da velocidade devido ao movimento da partícula no espaço).

Passo 3

Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeiro, a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo:
partial Vpartial t = partialpartial t ( 3 t , imath + x z , jmath + t y^2 , k )
Calculando termo a termo:
  • Para partial Vpartial t = 3 , imath + y^2 , k : derivada em relação a é .
  • Para : não depende de , então derivada é .
  • Para : derivada em relação a é .
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a aceleração convectiva V cdot nabla V = Vx partial Vpartial x + Vy partial Vpartial y + Vz partial Vpartial z .
Primeiro, precisamos encontrar V cdot nabla V = (3t) cdot ( 0 , imath + z , jmath + 0 , k ) + (x z) cdot ( 0 , imath + 0 , jmath + 2t y , k ) + (t y^2) cdot ( 0 , imath + x , jmath + 0 , k ) , que é a matriz jacobiana das derivadas parciais de V cdot nabla V = 3 t z , jmath + t x y^2 , jmath + 2 t x y z , k em relação a V cdot nabla V = 3 t z , jmath + t x y^2 , jmath + 2 t x y z , k , e .
Vamos calcular as derivadas parciais de cada componente de :
Agora, o operador fica:
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:
Então,
Simplificando:

Resposta

Juntando as duas partes da aceleração total:
a = partial Vpartial t + (V cdot nabla) V = ( 3 , imath + y^2 , k ) + ( 3 t z + t x y^2 ) jmath + 2 t x y z , k
Organizando os termos:
a = 3 , imath + ( 3 t z + t x y^2 ) jmath + ( y^2 + 2 t x y z ) k
Essa é a aceleração total da partícula no campo vetorial de velocidade dado.

Exercícios relacionados