Dado o Campo vetorial de velocidade euleriano encontre a aceleração total de uma partícula:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a aceleração total de uma partícula num campo vetorial de velocidade dado por:
Para isso, vamos usar conceitos de Mecânica dos Fluidos, especificamente a formulação euleriana. Precisamos entender como a velocidade varia no espaço e no tempo para determinar a aceleração total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração total
de uma partícula num campo de velocidade é dada por:
Aqui,
é a aceleração local (variação da velocidade no tempo) e
é a aceleração convectiva (mudança da velocidade devido ao movimento da partícula no espaço).
Passo 3
Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeiro, a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo:
Calculando termo a termo:
- Para
: derivada em relação a é . - Para
: não depende de , então derivada é . - Para
: derivada em relação a é .
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a aceleração convectiva
.
Primeiro, precisamos encontrar
, que é a matriz jacobiana das derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Vamos calcular as derivadas parciais de cada componente de
:
Agora, o operador
fica:
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:
Então,
Simplificando:
Resposta
Juntando as duas partes da aceleração total:
Organizando os termos:
Essa é a aceleração total da partícula no campo vetorial de velocidade dado.