Dado o Campo vetorial de velocidade euleriano encontre a aceleração total de uma partícula:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a aceleração total de uma partícula num campo vetorial de velocidade dado por:
Para isso, vamos usar conceitos de Mecânica dos Fluidos, especificamente a formulação euleriana. Precisamos entender como a velocidade varia no espaço e no tempo para determinar a aceleração total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração total de uma partícula num campo de velocidade é dada por:
Aqui, é a aceleração local (variação da velocidade no tempo) e é a aceleração convectiva (mudança da velocidade devido ao movimento da partícula no espaço).

Passo 3

Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeiro, a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo:
Calculando termo a termo:
  • Para : derivada em relação a é .
  • Para : não depende de , então derivada é .
  • Para : derivada em relação a é .
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a aceleração convectiva .
Primeiro, precisamos encontrar , que é a matriz jacobiana das derivadas parciais de em relação a , e .
Vamos calcular as derivadas parciais de cada componente de :
Agora, o operador fica:
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:
Então,
Simplificando:

Resposta

Juntando as duas partes da aceleração total:
Organizando os termos:
Essa é a aceleração total da partícula no campo vetorial de velocidade dado.

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