Um campo de velocidades é proposto como sendo:
) e
a) Esse fluido é incompressível?
b) Se o fluido for incompressível, encontre o gradiente de pressão
, assumindo o eixo
na vertical
a) Esse fluido é incompressível?
b) Se o fluido for incompressível, encontre o gradiente de pressão
Passo 1
Beleza, vamos analisar esse exercício que trata de um campo de velocidades especificado pelas componentes
,
e
. A questão está dividida em duas partes: primeiro, determinar se o fluido é incompressível, e segundo, se for incompressível, encontrar o gradiente de pressão
, considerando o eixo
na vertical. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica dos fluidos, como a condição de incompressibilidade e o cálculo do gradiente de pressão.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o fluido é incompressível. Um fluido é considerado incompressível quando sua densidade não varia com o tempo ou com o espaço. Matematicamente, isso significa que a divergência do campo de velocidades é igual a zero:
Vamos calcular essa divergência usando as componentes dadas.
Passo 3
As componentes do campo de velocidades são:
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada de
em relação a :
Usando a regra do quociente:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 4
Agora, somamos essas derivadas para encontrar a divergência:
Simplificando:
Então, a divergência é zero, o que confirma que o fluido é incompressível.
Passo 5
Agora que sabemos que o fluido é incompressível, vamos encontrar o gradiente de pressão
. Para isso, usamos a equação de Navier-Stokes para um fluido estacionário (sem variação temporal) e sem forças externas, que simplifica para:
Onde
é a densidade do fluido. Vamos calcular cada componente de
.
Passo 6
Primeiro, calculamos
:
Como
, a última parcela é zero. Usando as derivadas que já calculamos:
Precisamos também calcular
:
Substituindo de volta:
Passo 7
Agora, calculamos
:
Novamente,
. Primeiro, encontramos
e
:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 8
Como
, não precisamos calcular
. Agora, podemos escrever o gradiente de pressão:
Simplificando, se dividirmos por 100:
Podemos fatorar mais se necessário, mas essa é a expressão geral para o gradiente de pressão.
Resposta
O gradiente de pressão
para o fluido incompressível dado é:
Exercícios relacionados
A distribuição de velocidades, para um escoamento bidimensional de fluido incompressível, é dada por:
e
. Demonstre que satisfaz a equação da continuidade.
Dado o Campo vetorial de velocidade euleriano encontre a aceleração total de uma partícula:
O campo de velocidades,
, satisfaz a lei da conservação da massa para fluído incompressível?
Mercúrio a
escoa com uma velocidade de
sobre uma placa plana, cujo comprimento é
e largura
, sendo mantida a uma temperatura constante de
.
a) Determine o valor do coeficiente médio de convecção (h) sobre a placa.
b) Determine a taxa de transferência de calor de toda a placa. R.: 710,85 kW
a) Determine o valor do coeficiente médio de convecção (h) sobre a placa.
b) Determine a taxa de transferência de calor de toda a placa. R.: 710,85 kW