Um campo de velocidades é proposto como sendo: ) e
a) Esse fluido é incompressível?
b) Se o fluido for incompressível, encontre o gradiente de pressão , assumindo o eixo na vertical

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício que trata de um campo de velocidades especificado pelas componentes , e . A questão está dividida em duas partes: primeiro, determinar se o fluido é incompressível, e segundo, se for incompressível, encontrar o gradiente de pressão , considerando o eixo na vertical. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica dos fluidos, como a condição de incompressibilidade e o cálculo do gradiente de pressão.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o fluido é incompressível. Um fluido é considerado incompressível quando sua densidade não varia com o tempo ou com o espaço. Matematicamente, isso significa que a divergência do campo de velocidades é igual a zero:
Vamos calcular essa divergência usando as componentes dadas.

Passo 3

As componentes do campo de velocidades são:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada de em relação a :
Usando a regra do quociente:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, somamos essas derivadas para encontrar a divergência:
Simplificando:
Então, a divergência é zero, o que confirma que o fluido é incompressível.

Passo 5

Agora que sabemos que o fluido é incompressível, vamos encontrar o gradiente de pressão . Para isso, usamos a equação de Navier-Stokes para um fluido estacionário (sem variação temporal) e sem forças externas, que simplifica para:
Onde é a densidade do fluido. Vamos calcular cada componente de .

Passo 6

Primeiro, calculamos :
Como , a última parcela é zero. Usando as derivadas que já calculamos:
Precisamos também calcular :
Substituindo de volta:

Passo 7

Agora, calculamos :
Novamente, . Primeiro, encontramos e :
Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 8

Como , não precisamos calcular . Agora, podemos escrever o gradiente de pressão:
Simplificando, se dividirmos por 100:
Podemos fatorar mais se necessário, mas essa é a expressão geral para o gradiente de pressão.

Resposta

O gradiente de pressão para o fluido incompressível dado é:

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