Um campo de velocidades é proposto como sendo: uy=10 y /(x^2+y^2) ; uy=-10 x /(x^2+ y^2 ) e uz=0
a) Esse fluido é incompressível?
b) Se o fluido for incompressível, encontre o gradiente de pressão nabla p, assumindo o eixo z na vertical

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício que trata de um campo de velocidades especificado pelas componentes , e . A questão está dividida em duas partes: primeiro, determinar se o fluido é incompressível, e segundo, se for incompressível, encontrar o gradiente de pressão , considerando o eixo na vertical. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica dos fluidos, como a condição de incompressibilidade e o cálculo do gradiente de pressão.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o fluido é incompressível. Um fluido é considerado incompressível quando sua densidade não varia com o tempo ou com o espaço. Matematicamente, isso significa que a divergência do campo de velocidades é igual a zero:
nabla cdot u = partial uxpartial x + partial uypartial y + partial uzpartial z = 0
Vamos calcular essa divergência usando as componentes dadas.

Passo 3

As componentes do campo de velocidades são:
ux = -10xx^2 + y^2, uy = 10yx^2 + y^2, uz = 0
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada de partial uxpartial x = partialpartial x ( -10xx^2 + y^2 ) em relação a partial uxpartial x = -10 cdot (x^2 + y^2) - x cdot 2x(x^2 + y^2)^2 = -10 cdot y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2 :
partial uypartial y = partialpartial y ( 10yx^2 + y^2 ) = 10 cdot (x^2 + y^2) - y cdot 2y(x^2 + y^2)^2 = 10 cdot x^2 - y^2(x^2 + y^2)^2
Usando a regra do quociente:
partial uzpartial z = partialpartial z (0) = 0
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, somamos essas derivadas para encontrar a divergência:
nabla cdot u = partial uxpartial x + partial uypartial y + partial uzpartial z = -10 cdot y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2 + 10 cdot x^2 - y^2(x^2 + y^2)^2 + 0
Simplificando:
nabla cdot u = ( -10 cdot y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2 ) + ( 10 cdot x^2 - y^2(x^2 + y^2)^2 ) = 0
Então, a divergência é zero, o que confirma que o fluido é incompressível.

Passo 5

Agora que sabemos que o fluido é incompressível, vamos encontrar o gradiente de pressão nabla p = rho (u cdot nabla) u . Para isso, usamos a equação de Navier-Stokes para um fluido estacionário (sem variação temporal) e sem forças externas, que simplifica para:
Onde é a densidade do fluido. Vamos calcular cada componente de .

Passo 6

Primeiro, calculamos (u cdot nabla) ux = ux partial uxpartial x + uy partial uxpartial y + uz partial uxpartial z :
(u cdot nabla) ux = ( -10xx^2 + y^2 ) ( -10 cdot y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2 ) + ( 10yx^2 + y^2 ) cdot ( partial uxpartial y )
Como partial uxpartial y = partialpartial y ( -10xx^2 + y^2 ) = -10x cdot ( -2y ) / (x^2 + y^2)^2 = 20xy(x^2 + y^2)^2 , a última parcela é zero. Usando as derivadas que já calculamos:
(u cdot nabla) ux = 100x(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^3 + 200xy^2(x^2 + y^2)^3 = 100x(y^2 - x^2 + 2y^2)(x^2 + y^2)^3 = 100x(3y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^3
Precisamos também calcular :
Substituindo de volta:

Passo 7

Agora, calculamos (u cdot nabla) uy = ux partial uypartial x + uy partial uypartial y + uz partial uypartial z :
partial uypartial x = partialpartial x ( 10yx^2 + y^2 ) = -20xy / (x^2 + y^2)^2
Novamente, partial uypartial y = partialpartial y ( 10yx^2 + y^2 ) = 10 cdot (x^2 + y^2) - y cdot 2y(x^2 + y^2)^2 = 10(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^2 . Primeiro, encontramos (u cdot nabla) uy = ( -10xx^2 + y^2 ) ( -20xy(x^2 + y^2)^2 ) + ( 10yx^2 + y^2 ) ( 10(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^2 ) e (u cdot nabla) uy = 200x^2 y(x^2 + y^2)^3 + 100y(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^3 = 200x^2 y + 100x^2 y - 100y^3(x^2 + y^2)^3 = 300x^2 y - 100y^3(x^2 + y^2)^3 :
Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 8

Como nabla p = rho ( 100x(3y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^3 i + 300x^2 y - 100y^3(x^2 + y^2)^3 j ) , não precisamos calcular nabla p = rho cdot 100(x^2 + y^2)^3 ( x(3y^2 - x^2) i + (3x^2 y - y^3) j ) . Agora, podemos escrever o gradiente de pressão:
Simplificando, se dividirmos por 100:
Podemos fatorar mais se necessário, mas essa é a expressão geral para o gradiente de pressão.

Resposta

O gradiente de pressão nabla p = rho cdot 100(x^2 + y^2)^3 ( x(3y^2 - x^2) i + (3x^2 y - y^3) j ) para o fluido incompressível dado é:

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