A distribuição de velocidades, para um escoamento bidimensional de fluido incompressível, é dada por:
e
. Demonstre que satisfaz a equação da continuidade.
Passo 1
Bom, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um fluxo bidimensional de um fluido incompressível com as velocidades dadas por
e
. O objetivo é mostrar que essa distribuição de velocidades satisfaz a equação da continuidade. Para isso, vamos precisar usar o conceito de divergência da velocidade e aplicar a equação da continuidade para fluxos incompressíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação da continuidade para um fluido incompressível. Ela é dada por:
Isso significa que a divergência do campo de velocidade
deve ser igual a zero.
Passo 3
A divergência de um campo vetorial bidimensional
é calculada da seguinte forma:
Então, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais separadamente.
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Usando novamente a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 6
Agora, somamos as duas derivadas parciais para encontrar a divergência:
Ou seja, a divergência da velocidade é igual a zero.
Resposta
A distribuição de velocidades dada satisfaz a equação da continuidade, já que
.