A distribuição de velocidades, para um escoamento bidimensional de fluido incompressível, é dada por: e . Demonstre que satisfaz a equação da continuidade.

Passo 1

Bom, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um fluxo bidimensional de um fluido incompressível com as velocidades dadas por e . O objetivo é mostrar que essa distribuição de velocidades satisfaz a equação da continuidade. Para isso, vamos precisar usar o conceito de divergência da velocidade e aplicar a equação da continuidade para fluxos incompressíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação da continuidade para um fluido incompressível. Ela é dada por:
Isso significa que a divergência do campo de velocidade deve ser igual a zero.

Passo 3

A divergência de um campo vetorial bidimensional é calculada da seguinte forma:
Então, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais separadamente.

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Usando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Usando novamente a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 6

Agora, somamos as duas derivadas parciais para encontrar a divergência:
Ou seja, a divergência da velocidade é igual a zero.

Resposta

A distribuição de velocidades dada satisfaz a equação da continuidade, já que .

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Dado o Campo vetorial de velocidade euleriano encontre a aceleração total de uma partícula:
Uma placa metálica pequena, delgada, de área A m2, está isolada de um lado e exposta ao sol do outro lado. A placa absorve energia solar a uma taxa de 500 W/m2 e dissipa-se por convecção para o ar ambiente a , com um coeficiente de transferência de calor convectiva , e por radiação para radiação envolvente, que se pode admitir um corpo negro a Ts . A emissividade da superfície é . Determine a temperatura de equilíbrio da placa.
Um campo de velocidades é proposto como sendo: ) e
a) Esse fluido é incompressível?
b) Se o fluido for incompressível, encontre o gradiente de pressão , assumindo o eixo na vertical
O campo de velocidades, , satisfaz a lei da conservação da massa para fluído incompressível?