A distribuição de velocidades, para um escoamento bidimensional de fluido incompressível, é dada por: ux=-x /(x^2+y^2) e uy=-y /(x^2+y^2). Demonstre que satisfaz a equação da continuidade.

Passo 1

Bom, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um fluxo bidimensional de um fluido incompressível com as velocidades dadas por e . O objetivo é mostrar que essa distribuição de velocidades satisfaz a equação da continuidade. Para isso, vamos precisar usar o conceito de divergência da velocidade e aplicar a equação da continuidade para fluxos incompressíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação da continuidade para um fluido incompressível. Ela é dada por:
nabla cdot u = 0
Isso significa que a divergência do campo de velocidade deve ser igual a zero.

Passo 3

A divergência de um campo vetorial bidimensional nabla cdot u = partial uxpartial x + partial uypartial y é calculada da seguinte forma:
Então, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais separadamente.

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial de ux = -xx^2 + y^2 em relação a partial uxpartial x = -(1)(x^2 + y^2) - x(2x)(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2 - 2x^2(x^2 + y^2)^2 = --x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 :
partial uxpartial x = x^2 - y^2(x^2 + y^2)^2
Usando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de uy = -yx^2 + y^2 em relação a partial uypartial y = -(1)(x^2 + y^2) - y(2y)(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2 - 2y^2(x^2 + y^2)^2 = -x^2 - y^2(x^2 + y^2)^2 :
partial uypartial y = -x^2 - y^2(x^2 + y^2)^2
Usando novamente a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 6

Agora, somamos as duas derivadas parciais para encontrar a divergência:
nabla cdot u = x^2 - y^2(x^2 + y^2)^2 + (-x^2 - y^2(x^2 + y^2)^2) = 0
Ou seja, a divergência da velocidade é igual a zero.

Resposta

A distribuição de velocidades dada satisfaz a equação da continuidade, já que .

Exercícios relacionados